Gratis självständighet

I den matematiska teorin om fri sannolikhet introducerades begreppet fritt oberoende av Dan Voiculescu . Definitionen av fritt oberoende är parallell med den klassiska definitionen av oberoende , förutom att rollen för kartesiska produkter av mätrum (motsvarande tensorprodukter av deras funktionsalgebror) spelas av föreställningen om en fri produkt av (icke-kommutativ) sannolikhet utrymmen.

I samband med Voiculescus fria sannolikhetsteori har många klassiska sannolikhetssatser eller fenomen fria sannolikhetsanaloger: samma sats eller fenomen gäller (kanske med små modifieringar) om den klassiska föreställningen om oberoende ersätts av fritt oberoende. Exempel på detta inkluderar: den fria centrala gränssatsen; föreställningar om fri faltning ; förekomsten av fri stokastisk kalkyl och så vidare.

Låt $(A,\phi )$ vara ett icke-kommutativt sannolikhetsutrymme, dvs en enhetlig algebra $A$ över $\mathbb {C}$ utrustad med en enhetlig linjär funktionell $\phi :A\to \mathbb {C}$ . Som ett exempel kan man ta, för ett sannolikhetsmått $\mu$ ,

$A=L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mu ),\phi (f)=\int f(t)\,d\mu (t).$

Ett annat exempel kan vara $A=M_{N}$ , algebra för $N\ gånger N$ matriser med den funktion som ges av det normaliserade spåret ${\ displaystyle \phi ={\frac {1}{N}}Tr}$ . Ännu mer generellt $A$ vara en von Neumann-algebra och $\phi$ ett tillstånd på $A$ . Ett sista exempel är gruppalgebra $A=\mathbb {C} \Gamma$ för en (diskret) grupp $\Gamma$ med den funktionella $\phi$ som ges av gruppspår $\phi (g)=\delta _{g=e},g\in \Gamma$ .

Låt $\{A_{i}:i\in I\}$ vara en familj av enhetliga subalgebror av $A$ .

Definition . Familjen $\{A_{i}:i\in I\}$ kallas fritt oberoende om $\phi (x_ {1}x_{2}\cdots x_{n})=0$ när $\phi (x_{j})=0$ , $x_{j}\in A_{i(j)}$ och $i(1)\neq i(2), i(2)\neq i(3),\dots$ .

Om $X_{i}\in A$ , är $i\in I$ en familj av element i $A$ (dessa kan ses som slumpvariabler i $A$ ), kallas de

fritt oberoende om algebrorna $A_{i}$ som genereras av $1$ och $X_{i}$ är fritt oberoende.

Exempel på fritt oberoende

• Låt $\Gamma$ vara den fria produkten av grupperna $\Gamma _{i},i\in I$ , låt $A=\mathbb {C } \Gamma$ vara gruppalgebra, $\phi (g)=\delta _{g=e}$ vara gruppspåret, och sätt $A_{i}=\mathbb {C} \Gamma _{i}\subset A$ . Då $A_{i}:i\in I$ fritt oberoende.
• Låt $U_{i}(N),i=1,2$ vara $N\ gånger N$ enhetliga slumpmässiga matriser , slumpmässigt oberoende av varandra från enhetsgruppen $N\ gånger N$ (med avseende på Haar-måttet ) . Då blir $U_{1}(N),U_{2}(N)$ asymptotiskt fritt oberoende som $N\to \infty$ . (Asymptotisk freeness betyder att definitionen av freeness håller i gränsen som ${\displaystyle N\to \infty } )$ .
• Mer generellt tenderar oberoende slumpmässiga matriser att vara asymptotiskt fritt oberoende, under vissa förhållanden.

Källor

• James A. Mingo, Roland Speicher: Fri sannolikhet och slumpmässiga matriser . Fields Institute Monographs, vol. 35, Springer, New York, 2017.