Siegels lemma

I matematik , särskilt i transcendental talteori och diofantisk approximation , hänvisar Siegels lemma till gränser för lösningarna av linjära ekvationer som erhålls genom konstruktionen av hjälpfunktioner . Existensen av dessa polynom bevisades av Axel Thue ; Thues bevis använde Dirichlets boxprincip . Carl Ludwig Siegel publicerade sitt lemma 1929. Det är en ren existenssats för ett system av linjära ekvationer .

Siegels lemma har förfinats de senaste åren för att ge skarpare gränser för de uppskattningar som lemmat ger.

Påstående

Antag att vi får ett system av M linjära ekvationer i N okända så att N > M , säg

$a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0$

$\cdots$

$a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0$

där koefficienterna är rationella heltal, inte alla 0, och avgränsade av B . Systemet har då en lösning

$(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})$

med X är alla rationella heltal, inte alla 0, och avgränsade av

$(NB)^{M/(NM)}.$

Bombieri & Vaaler (1983) gav följande skarpare gräns för X :en:

$\max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det( AA^{T})}}\höger)^{\!1/(NM)}$

där D är den största gemensamma delaren av M × M moll i matrisen A , och A ^T är dess transponering . Deras bevis involverade att ersätta duvhålsprincipen med tekniker från siffrors geometri .

Se även

• Diofantisk approximation

•   Bombieri, E.; Vaaler, J. (1983). "Om Siegels lemma". Inventiones Mathematicae . 73 (1): 11–32. Bibcode : 1983InMat..73...11B . doi : 10.1007/BF01393823 . S2CID 121274024 .
•    Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diofantin geometri . Examentexter i matematik. Vol. 201. Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98981-5 . MR 1745599 .
• Wolfgang M. Schmidt . Diofantisk approximation . Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 med mindre korrigeringar]) (Sid. 125-128 och 283-285)
• Wolfgang M. Schmidt. "Kapitel I: Siegels Lemma och höjder" (sidorna 1–33). Diophantina approximationer och diofantiska ekvationer , Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.