Icke-abelsk klassfältteori
I matematik är icke-abelsk klassfältteori ett slagord, vilket betyder utvidgningen av resultaten av klassfältteori , den relativt kompletta och klassiska uppsättningen resultat på abelska förlängningar av valfritt talfält K , till den allmänna Galois -förlängningen L / K . Medan klassfältteorin i huvudsak var känd 1930, har den motsvarande icke-abelska teorin aldrig formulerats i en definitiv och accepterad mening.
Historia
En presentation av klassfältteori i termer av gruppkohomologi genomfördes av Claude Chevalley , Emil Artin och andra, främst på 1940-talet. Detta resulterade i en formulering av de centrala resultaten med hjälp av idele-klassgruppens gruppkohomologi . Satserna för det kohomologiska tillvägagångssättet är oberoende av om Galois-gruppen G i L / K är abelisk eller inte. Denna teori har aldrig betraktats som den eftertraktade icke-abelska teorin. Det första skälet som kan nämnas för det är att det inte gav färsk information om splittringen av främsta ideal i en Galois-förlängning ; ett vanligt sätt att förklara syftet med en icke-abelsk klassfältteori är att den ska tillhandahålla ett mer explicit sätt att uttrycka sådana splittringsmönster.
Det kohomologiska tillvägagångssättet var därför av begränsad användbarhet även för att formulera icke-abelsk klassfältteori. Bakom historien låg Chevalleys önskan att skriva bevis för klassfältteori utan att använda Dirichlet-serien : med andra ord att eliminera L-funktioner . Den första vågen av bevis för de centrala satserna inom klassfältteorin var strukturerad som att den bestod av två "ojämlikheter" (samma struktur som i bevisen som nu ges av Galois teoris grundläggande sats, fastän mycket mer komplex). En av de två ojämlikheterna involverade ett argument med L-funktioner.
I en senare vändning av denna utveckling insåg man att för att generalisera Artin ömsesidighet till det icke-abelska fallet, var det faktiskt väsentligt att söka ett nytt sätt att uttrycka Artin L-funktioner . Den samtida formuleringen av denna ambition är med hjälp av Langlands-programmet : där det ges skäl för att tro att Artin L-funktioner också är L-funktioner av automorfa representationer . I början av det tjugoförsta århundradet är detta formuleringen av begreppet icke-abelsk klassfältteori som har bredast expertacceptans.
Se även
Anteckningar
- ^ Problemet med att skapa icke-Abelsk klassfältteori för normala förlängningar med icke-Abelsk Galois-grupp kvarstår. Från Kuz'min, LV (2001) [1994], "Class field theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
- ^ På den statistiska nivån generaliserar det klassiska resultatet på primtal i aritmetiska progressioner av Dirichlet till Chebotaryovs densitetsteorem ; vad som efterfrågas är en generalisering, av samma omfattning av kvadratisk ömsesidighet .
- ^ I dagens terminologi är det den andra ojämlikheten. Se klassbildning för en samtida presentation.
- ^ James W. Cogdell, Functoriality, Converse Theorems and Applications (PDF) säger att Functoriality i sig är en manifestation av Langlands vision av en icke-abelsk klassfältteori .
- ^ Frågan om ömsesidighetslagar och symboler för icke-abelska fältförlängningar passar bättre in i icke-abelian klassfältteori och Langlands-programmet: från Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Hilbertproblem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press