Degeneration (algebraisk geometri)

I algebraisk geometri är en degeneration (eller specialisering ) handlingen att ta en gräns för en familj av sorter. Precis, givet en morfism

\pi :{\mathcal {X}}\to C,

av en sort (eller ett schema) till en kurva C med ursprung 0 (t.ex. affin eller projektiv linje), fibrerna

\pi ^{-1}(t)

bilda en familj av sorter över C . Då kan fibern $\pi ^{-1}(0)$ ses som gränsen för $\pi ^{-1}(t)$ som $t\to 0$ . Man säger då att familjen $\pi ^{-1}(t),t\neq 0$ degenererar till specialfibern π $\displaystyle \pi ^{ -1}(0)}$ . Begränsningsprocessen beter sig bra när $\pi$ är en platt morfism och i så fall kallas degenerationen en platt degeneration . Många författare antar att degenerationer är platt.

När familjen $\pi ^{-1}(t)$ är trivial bort från en speciell fiber; dvs, $\pi ^{-1}(t)$ är oberoende av $t\neq 0$ upp till (koherenta) isomorfismer, $\pi ^{-1}(t),t\neq 0$ kallas en allmän fiber.

Degenerationer av kurvor

I studiet av moduler av kurvor är den viktiga punkten att förstå gränserna för modulerna, vilket motsvarar att förstå degenerationer av kurvor.

Stabilitet av invarianter

Ruled-ness specialiserar sig. Precis, säger Matsusaka'a-satsen

Låt X vara ett normalt irreducerbart projektivt schema över en diskret värderingsring. Om den generiska fibern bestäms, döms också varje irreducerbar komponent i specialfibern.

Oändligt små deformationer

Låt D = k [ ε ] vara ringen av dubbla tal över ett fält k och Y ett schema av ändlig typ över k . Givet ett slutet delschema X av Y , per definition, är en inbäddad första ordningens infinitesimal deformation av X ett X ' slutet delschema X ' av Y × _{Spec( k )} Spec( D ) så att projektionen → Spec D är platt och har X som specialfiber.

Om Y = Spec A och X = Spec( A / I ) är affina, så uppgår en inbäddad infinitesimal deformation till ett idealt I ' av A [ ε ] så att A [ ε ]/ I ' är platt över D och bilden av I ' in A = A [ ε ]/ ε är I .

I allmänhet, givet ett spetsigt schema ( S , 0) och ett schema X , kallas en morfism av scheman $π$ : X ' → S deformationen av ett schema X om det är platt och fibern i det över den distinguerade punkten 0 av S är X. _ Således är ovanstående begrepp ett specialfall när S = Spec D och det finns ett visst val av inbäddning.

Se även

M. Artin, föreläsningar om deformationer av singulariteter – Tata Institute of Fundamental Research, 1976
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
E. Sernesi: Deformationer av algebraiska scheman
M. Gross, M. Siebert, En inbjudan till toriska degenerationer
M. Kontsevich, Y. Soibelman: Affina strukturer och icke-arkimediska analytiska rum, i: Matematikens enhet (P. Etingof, V. Retakh, IM Singer, red.), 321–385, Progr. Matematik. 244, Birkh ̈auser 2006.
Karen E Smith, Vanishing, Singularities and Effective Bounds Via Prime Characteristic Local Algebra.
V. Alexeev, Ch. Birkenhake och K. Hulek, Degenerations of Prym-varietes, J. Reine Angew. Matematik. 553 (2002), 73–116.

externa länkar

http://mathoverflow.net/questions/88552/when-do-infinitesimal-deformations-lift-to-global-deformations