Linjärt tidsinvariant system

Blockdiagram som illustrerar superpositionsprincipen och tidsinvariansen för ett deterministiskt kontinuerligt tidsengångssystem med en enda utgång. Systemet uppfyller superpositionsprincipen och är tidsinvariant om och endast om ₀₀ y ₃ ( t ) = a ₁ y ₁ ( t – t ) + a ₂ y ₂ ( t – t ) för all tid t , för alla reella konstanter a ₁ , a ₂ , t ₀ och för alla ingångar x ₁ ( t ), x ₂ ( t ) . Klicka på bilden för att expandera den.

Inom systemanalys , bland andra studieområden, är ett linjärt tidsinvariant ( LTI ) system ett system som producerar en utsignal från vilken insignal som helst som är föremål för begränsningarna linjäritet och tidsinvarians ; dessa termer definieras kort nedan . Dessa egenskaper gäller (exakt eller ungefärligt) för många viktiga fysiska system, i vilket fall systemets svar y ( t ) på en godtycklig ingång x ( t ) kan hittas direkt med hjälp av faltning : y ( t ) = ( x ∗ h ) )( t ) där h ( t ) kallas systemets impulssvar och ∗ representerar faltning (inte att förväxla med multiplikation, vilket ofta används av symbolen i datorspråk ). Dessutom finns det systematiska metoder för att lösa ett sådant system (bestämma h ( t ) ), medan system som inte uppfyller båda egenskaperna i allmänhet är svårare (eller omöjliga) att lösa analytiskt. Ett bra exempel på ett LTI-system är vilken elektrisk krets som helst som består av motstånd , kondensatorer , induktorer och linjära förstärkare .

Linjär tidsinvariant systemteori används också i bildbehandling , där systemen har rumsliga dimensioner istället för, eller utöver, en tidsdimension. Dessa system kan hänvisas till som linjär översättningsinvariant för att ge terminologin den mest allmänna räckvidden. I fallet med generiska tidsdiskreta (dvs samplade ) system är linjär skift-invariant motsvarande term. LTI-systemteori är ett område av tillämpad matematik som har direkta tillämpningar inom analys och design av elektriska kretsar , signalbehandling och filterdesign , kontrollteori , maskinteknik , bildbehandling , design av mätinstrument av många slag, NMR-spektroskopi , och många andra tekniska områden där system med vanliga differentialekvationer presenterar sig själva.

Översikt

De definierande egenskaperna för alla LTI-system är linjäritet och tidsinvarians .

• Linjäritet innebär att förhållandet mellan ingången $x(t)$ och utgången ${\displaystyle y(t)} ,$ som båda betraktas som funktioner, är en linjär mappning: Om ${ \displaystyle a}$ är en konstant då systemets utdata till $ax(t)$ är $ay(t)$ ; om $x'(t)$ är en ytterligare ingång med systemutgång $y'(t)$ då systemets utdata till $x(t)+x'(t)$ är $y(t)+y'(t)$ , detta gäller för alla val av $a$ , $x(t)$ , $x'(t)$ . Det senare villkoret kallas ofta för superpositionsprincipen .
• Tidsinvarians innebär att oavsett om vi applicerar en ingång till systemet nu eller T sekunder från och med nu, kommer utsignalen att vara identisk förutom en tidsfördröjning på T sekunder. Det vill säga, om utgången på grund av ingången $x(t)$ är $y(t)$ , då utgången på grund av ingången $x(tT)$ är $y(tT)$ . Följaktligen är systemet tidsinvariant eftersom utsignalen inte beror på den speciella tid som ingången appliceras.

Det grundläggande resultatet i LTI-systemteorin är att vilket LTI-system som helst kan karakteriseras helt av en enda funktion som kallas systemets impulssvar . Utdata från systemet $y(t)$ är helt enkelt faltningen av ingången till systemet $x(t)$ med systemets impulssvar ${\ displaystil h(t)}$ . Detta kallas ett kontinuerligt tidssystem . På liknande sätt definieras ett linjärt tidsinvariant system för diskret tid (eller mer allmänt "skiftinvariant") som ett system som arbetar i diskret tid : $y_{i}=x_{ i}*h_{i}$ där y , x och h är sekvenser och faltningen, i diskret tid, använder en diskret summering snarare än en integral.

Samband mellan tidsdomänen och frekvensdomänen

LTI-system kan också karakteriseras i frekvensdomänen av systemets överföringsfunktion , som är Laplace-transformen av systemets impulssvar (eller Z-transform i fallet med diskreta-tidssystem). Som ett resultat av egenskaperna hos dessa transformationer är systemets utsignal i frekvensdomänen produkten av överföringsfunktionen och transformationen av ingången. Med andra ord är faltning i tidsdomänen ekvivalent med multiplikation i frekvensdomänen.

För alla LTI-system är egenfunktionerna och basfunktionerna för transformationerna komplexa exponentialer . Detta är, om ingången till ett system är den komplexa vågformen $A_{s}e^{st}$ för någon komplex amplitud $A_{s}$ och komplex frekvens ${ \displaystyle s}$ , kommer utsignalen att vara en komplex konstant gånger ingången, säg $B_{s}e^{st}$ för någon ny komplex amplitud $B_{s}$ . Förhållandet $B_{s}/A_{s}$ är överföringsfunktionen vid frekvensen $s$ .

Eftersom sinusoider är en summa av komplexa exponentialer med komplexa konjugerade frekvenser, om ingången till systemet är en sinusform, kommer systemets utgång också att vara en sinusform, kanske med en annan amplitud och en annan fas , men alltid med samma frekvens när man når steady-state. LTI-system kan inte producera frekvenskomponenter som inte finns i ingången.

LTI-systemteorin är bra på att beskriva många viktiga system. De flesta LTI-system anses vara "enkla" att analysera, åtminstone jämfört med det tidsvarierande och/eller olinjära fallet. Varje system som kan modelleras som en linjär differentialekvation med konstanta koefficienter är ett LTI-system. Exempel på sådana system är elektriska kretsar som består av motstånd , induktorer och kondensatorer (RLC-kretsar). Idealiska fjäder-massa-dämparsystem är också LTI-system och är matematiskt likvärdiga med RLC-kretsar.

De flesta LTI-systemkoncept är likartade mellan fallen med kontinuerlig tid och diskret tid (linjär skiftinvariant). Vid bildbehandling ersätts tidsvariabeln med två rymdvariabler, och begreppet tidsinvarians ersätts med tvådimensionell skiftinvarians. När man analyserar filterbanker och MIMO- system är det ofta användbart att överväga signalvektorer .

Ett linjärt system som inte är tidsinvariant kan lösas med andra tillvägagångssätt som Green function- metoden.

Kontinuerliga tidssystem

Impulssvar och konvolution

Beteendet hos ett linjärt, kontinuerligt, tidsinvariant system med ingångssignal x ( t ) och utsignal y ( t ) beskrivs av faltningsintegralen:

$y(t)=(x*h)(t)$	$\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \int \limits _{-\infty } ^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau$
	$=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\ tau )\,\mathrm {d} \tau ,$ (med kommutativitet )

där ${\textstyle h(t)}$ är systemets svar på en impuls : ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ . ${\textstyle y(t)}$ är därför proportionell mot ett viktat medelvärde av ingångsfunktionen ${\textstyle x(\tau )}$ . Viktningsfunktionen är ${\textstyle h(-\tau )}$ , helt enkelt skiftad med mängden ${\textstyle t}$ . När ${\textstyle t}$ ändras, betonar viktningsfunktionen olika delar av inmatningsfunktionen. När ${\textstyle h(\tau )}$ är noll för alla negativa ${\textstyle \tau }$ , beror ${\textstyle y(t)}$ endast på värden på ${\textstyle x}$ före tiden ${\textstyle t}$ , och systemet sägs vara kausalt .

För att förstå varför faltningen producerar utdata från ett LTI-system, låt notationen ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ representerar funktionen ${\textstyle x(u-\tau )}$ med variabeln ${\textstyle u}$ och konstant ${\textstyle \tau }$ . Och låt den kortare notationen ${\textstyle \{x\}}$ representera ${\textstil \{x(u);\ u\}}$ . Sedan omvandlar ett kontinuerligt tidssystem en ingångsfunktion, ${\textstyle \{x\},}$ till en utdatafunktion, ${\textstyle \{y\}}$ . Och i allmänhet kan varje värde på utmatningen bero på varje värde på inmatningen. Detta koncept representeras av:

$$y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},$$

där ${\textstyle O_{t}}$ är transformationsoperatorn för tiden ${\textstyle t}$ . I ett typiskt system ${\textstyle y(t)}$ mest på värdena för ${\textstyle x}$ som inträffade nära tiden ${\textstyle t}$ . Om inte själva transformationen ändras med ${\textstyle t}$ , är utdatafunktionen bara konstant, och systemet är ointressant.

För ett linjärt system måste ${\textstyle O}$ uppfylla ekv.1 :

$O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ; \ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{ \tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .$

 

 

 

 

()

Och kravet på tidsinvarians är:

${\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y(t-\tau )\\ &\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

I denna notation kan vi skriva impulssvaret som ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Liknande:

$h(t-\tau )$	$\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}$
	$=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$ (med ekv.3 )

Ersätter detta resultat med faltningsintegralen:

$${\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{justerad}}$$

som har formen av den högra sidan av ekv.2 för fallet ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ och ${\textstil x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

Ekv.2 tillåter sedan denna fortsättning:

$${\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta ( u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\& \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}$$

Sammanfattningsvis kan ingångsfunktionen, ${\textstyle \{x\}}$ , representeras av ett kontinuum av tidsförskjutna impulsfunktioner, kombinerade "linjärt", som visas vid . Systemets linjäritetsegenskap tillåter att systemets svar representeras av motsvarande kontinuum av impulssvar, kombinerat på samma sätt. Och tidsinvariansegenskapen tillåter att kombinationen representeras av faltningsintegralen.

De matematiska operationerna ovan har en enkel grafisk simulering.

Exponentialer som egenfunktioner

En egenfunktion är en funktion för vilken utdata från operatorn är en skalad version av samma funktion. Det är,

$${\mathcal {H}}f=\lambda f,$$

där f är egenfunktionen och $\lambda$ är egenvärdet , en konstant.

Exponentialfunktionerna $Ae^{st}$ , där $A,s\in \mathbb {C}$ , är egenfunktioner till en linjär , tidsinvariant operator. Ett enkelt bevis illustrerar detta koncept. Antag att ingången är $x(t)=Ae^{st}$ . Utsignalen från systemet med impulssvar $h(t)$ är då

$$\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau$$

som, genom den kommutativa egenskapen faltning , är likvärdig med

$${\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\ infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _ {-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{ st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}$$

där skalären

$$H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t$$

är endast beroende av parametern s .

Så systemets svar är en skalad version av inmatningen. Speciellt för alla $A,s\in \mathbb {C}$ , är systemutgången produkten av ingången $Ae^{st}$ och konstanten $H(s)$ . Därför $Ae^{st}$ en egenfunktion till ett LTI-system, och motsvarande egenvärde är $H(s)$ .

Direkt bevis

Det är också möjligt att direkt härleda komplexa exponentialer som egenfunktioner till LTI-system.

Låt oss sätta $v(t)=e^{i\omega t}$ någon komplex exponential och $v_ {a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ en tidsförskjuten version av den.

$H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ genom linjäritet med avseende på konstanten $e^{i\omega a}$ .

$H[v_{a}](t)=H[v](t+a)$ med tidsinvarians av $H$ .

Så $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ . Om vi ​​ställer in $t=0$ och byter namn får vi:

$$H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)$$

dvs att en komplex exponential $e^{i\omega \tau }$ som ingång kommer att ge en komplex exponential med samma frekvens som utgång.

Fourier och Laplace transformer

Exponentialernas egenfunktionsegenskap är mycket användbar för både analys och insikt i LTI-system. Den ensidiga Laplace-förvandlingen

$$H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{- st}\,\mathrm {d} t$$

är exakt sättet att få egenvärdena från impulssvaret. Av särskilt intresse är rena sinusoider (dvs exponentialfunktioner av formen $e^{j\omega t}$ där $\omega \in \mathbb {R}$ och ${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}} )$ . Fouriertransformen $H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}$ ger egenvärdena för rena komplexa sinusoider. Båda $H(s)$ och $H(j\omega )$ kallas systemfunktion , systemsvar eller överföringsfunktion .

Laplacetransformen används vanligtvis i samband med ensidiga signaler, dvs signaler som är noll för alla värden på t mindre än något värde. Vanligtvis sätts denna "starttid" till noll, för enkelhetens skull och utan förlust av generalitet, där transformationsintegralen tas från noll till oändlighet (transformen som visas ovan med nedre gräns för integration av negativ oändlighet är formellt känd som den bilaterala Laplace transformera ).

Fouriertransformen används för att analysera system som behandlar signaler som är oändliga i omfattning, såsom modulerade sinusoider, även om den inte kan appliceras direkt på in- och utsignaler som inte är kvadratintegrerbara . Laplace-transformen fungerar faktiskt direkt för dessa signaler om de är noll före en starttid, även om de inte är kvadratiska integrerbara, för stabila system. Fouriertransformen appliceras ofta på spektra av oändliga signaler via Wiener-Khinchin-satsen även när Fouriertransformer av signalerna inte existerar.

På grund av faltningsegenskapen för båda dessa transformer, kan faltningen som ger systemets utdata transformeras till en multiplikation i transformationsdomänen, givet signaler för vilka transformationerna existerar

$$y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\ tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s) X(s)\}.$$

Man kan använda systemresponsen direkt för att bestämma hur någon speciell frekvenskomponent hanteras av ett system med den Laplace-transformen. Om vi ​​utvärderar systemsvaret (Laplacetransform av impulssvaret) vid komplex frekvens s = jω , där ω = 2 πf , får vi | H ( s )| vilket är systemförstärkningen för frekvens f . Den relativa fasförskjutningen mellan utgången och ingången för den frekvenskomponenten ges på samma sätt av arg( H ( s )).

Exempel

• Ett enkelt exempel på en LTI-operator är derivatan .
  • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1} (t)+c_{2}x'_{2}(t)$ (dvs den är linjär)
  • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'( t-\tau )$ (dvs det är tidsinvariant)

  När Laplace-transformen av derivatan tas, transformeras den till en enkel multiplikation med Laplace-variabeln s .

  $${\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x (t)\right\}=sX(s)$$
  Att derivatan har en så enkel Laplace-transform förklarar delvis nyttan av transformationen.
• En annan enkel LTI-operatör är en medelvärdesoperator
  $${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{ta}^{t+a} x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$$
  Genom integrationens linjäritet,
  $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _ {ta}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_ {1}\int _{ta}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{ta}^{t+a}x_ {2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}$$
  den är linjär. Dessutom eftersom
  $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{ta}^{t +a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x( \xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}$$
  det är oföränderligt i tiden. Faktum är att ${\mathcal {A}}$ kan skrivas som en faltning med boxcar-funktionen $\Pi (t)$ . Det är,
  $${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}= \int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,$$
  där lådbilen fungerar
  $$\Pi (t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2 }},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$$

Viktiga systemegenskaper

Några av de viktigaste egenskaperna hos ett system är kausalitet och stabilitet. Kausalitet är en nödvändighet för ett fysiskt system vars oberoende variabel är tid, men denna begränsning finns inte i andra fall som bildbehandling.

Kausalitet

Huvudartikel: Kausalsystem

Ett system är kausalt om produktionen endast beror på nuvarande och tidigare, men inte framtida indata. En nödvändig och tillräcklig förutsättning för kausalitet är

$$h(t)=0\quad \forall t<0,$$

där $h(t)$ är impulssvaret. Det är i allmänhet inte möjligt att fastställa kausalitet från den tvåsidiga Laplace-transformen . Men när man arbetar i tidsdomänen använder man normalt den ensidiga Laplace-transformen som kräver kausalitet.

Stabilitet

Huvudartikel: BIBO stabilitet

Ett system är bounded-input, bounded-output stabil ( BIBO stabil) om utgången är finit för varje bounded ingång. Matematiskt, om varje ingång tillfredsställande

$$\ \|x(t)\|_{\infty }<\infty$$

leder till en tillfredsställande utgång

$$\ \|y(t)\|_{\infty }<\infty$$

(det vill säga ett ändligt maximalt absolutvärde på $x(t)$ innebär ett ändligt maximalt absolutvärde på $y(t)$ ), då är systemet stabilt. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor är att $h(t)$ , impulssvaret, är i L ¹ (har en ändlig L ¹ -norm):

$$\|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .$$

I frekvensdomänen måste konvergensområdet innehålla den imaginära axeln $s=j\omega$ .

Som ett exempel är det ideala lågpassfiltret med impulssvar lika med en sinc-funktion inte BIBO-stabilt, eftersom sinc-funktionen inte har en finit L ¹ -norm. Sålunda, för någon begränsad ingång, är utsignalen från det ideala lågpassfiltret obegränsad. I synnerhet om ingången är noll för $t<0$ och lika med en sinusform vid gränsfrekvensen för $t>0$ , då kommer utsignalen att vara obegränsad för alla andra tider än nollövergångarna.

Tidsdiskreta system

Nästan allt i kontinuerliga tidssystem har en motsvarighet i diskreta tidssystem.

Diskreta tidssystem från kontinuerliga tidssystem

I många sammanhang är ett diskret tidssystem (DT) verkligen en del av ett större system för kontinuerlig tid (CT). Till exempel tar ett digitalt inspelningssystem ett analogt ljud, digitaliserar det, bearbetar eventuellt de digitala signalerna och spelar upp ett analogt ljud för människor att lyssna på.

I praktiska system är DT-signaler som erhålls vanligtvis enhetligt samplade versioner av CT-signaler. Om $x(t)$ är en CT-signal, kommer samplingskretsen som används före en analog-till-digital-omvandlare att omvandla den till en DT-signal:

$$x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,$$

där T är provtagningsperioden . Före sampling körs normalt insignalen genom ett så kallat Nyquist-filter som tar bort frekvenser över "vikningsfrekvensen" 1/(2T); detta garanterar att ingen information i den filtrerade signalen kommer att gå förlorad. alias alla frekvenskomponenter över vikningsfrekvensen (eller Nyquist-frekvensen ) till en annan frekvens (därmed förvränger den ursprungliga signalen), eftersom en DT-signal endast kan stödja frekvenskomponenter lägre än vikningsfrekvensen.

Impulssvar och konvolution

Låt $\{x[mk];\ m\}$ representerar sekvensen $\{x[mk];{\text{ för alla heltalsvärden av }}m\}.$

Och låt den kortare notationen $\{x\}$ representera $\{x[m];\ m\}.$

Ett diskret system omvandlar en ingångssekvens, $\{x\}$ till en utdatasekvens, $\{y\}.$ I allmänhet kan varje element i utgången bero på varje element i inmatningen. Genom att representera transformationsoperatorn med $O$ kan vi skriva:

$$y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.$$

Observera att om inte själva transformationen ändras med n är utdatasekvensen bara konstant och systemet är ointressant. (Således sänkningen, n .) I ett typiskt system beror y [ n ] mest på elementen i x vars index är nära n .

För det speciella fallet av Kronecker delta-funktionen , $x[m]=\delta [m],$ är utgångssekvensen impulssvaret :

$$h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.$$

För ett linjärt system måste $O$ uppfylla:

$O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\summa _ {k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.$

 

 

 

 

()

Och kravet på tidsinvarians är:

${\begin{aligned}O_{n}\{x[mk];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y[nk]\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{nk}\{x\}.\,\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

I ett sådant system karaktäriserar impulssvaret, $\{h\}$ , systemet helt. Det vill säga, för vilken ingångssekvens som helst, kan utgångssekvensen beräknas i termer av ingången och impulssvaret. För att se hur det går till, överväg identiteten:

$$x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k ]\cdot \delta [mk],$$

som uttrycker $\{x\}$ i termer av en summa av viktade deltafunktioner.

Därför:

$${\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [mk];\ m\right\}\\&=\summa _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{ \delta [mk];\ m\},\,\end{aligned}}$$

där vi har åberopat ekv.4 för fallet $c_{k}=x[k]$ och $x_{k} [m]=\delta [mk]$ .

Och på grund av ekv.5 kan vi skriva:

$${\begin{aligned}O_{n}\{\delta [mk];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{nk}\{\delta [m] ;\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[nk].\end{aligned}}$$

Därför:

$y[n]$	$=\summa _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[nk]$
	$=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[nk]\cdot h[k],$ ( kommutativitet )

vilket är den välbekanta diskreta faltningsformeln. Operatören $O_{n}$ kan därför tolkas som proportionell mot ett viktat medelvärde av funktionen x [ k ]. Viktningsfunktionen är h [− k ], helt enkelt förskjuten med mängd n . När n ändras framhäver viktningsfunktionen olika delar av inmatningsfunktionen. På motsvarande sätt är systemets svar på en impuls vid n =0 en "tid" omvänd kopia av den oförskjutna viktningsfunktionen. När h [ k ] är noll för alla negativa k , sägs systemet vara kausalt .

Exponentialer som egenfunktioner

En egenfunktion är en funktion för vilken utsignalen från operatorn är samma funktion, skalad med någon konstant. I symboler,

$${\mathcal {H}}f=\lambda f,$$

där f är egenfunktionen och $\lambda$ är egenvärdet , en konstant.

Exponentialfunktionerna $z^{n}=e^{sTn}$ , där $n\in \mathbb {Z}$ , är egenfunktioner till en linjär tid -invariant operator. $T\in \mathbb {R}$ är samplingsintervallet, och $z=e^{sT},\ z,s\in \ mathbb {C}$ . Ett enkelt bevis illustrerar detta koncept.

Antag att ingången är $x[n]=z^{n}$ . Utsignalen från systemet med impulssvar $h[n]$ är då

$$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[nm]\,z^{m}$$

vilket är ekvivalent med följande av den kommutativa egenskapen faltning

$$\sum _{m=-\ infty }^{\infty }h[m]\,z^{(nm)}=z^{n}\summa _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{ -m}=z^{n}H(z)$$

var

$$H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\ infty }^{\infty }h[m]z^{-m}$$

är endast beroende av parametern z .

Så $z^{n}$ är en egenfunktion för ett LTI-system eftersom systemsvaret är detsamma som ingången gånger konstanten $H(z)$ .

Z och diskret-tids Fourier-transformationer

Exponentialernas egenfunktionsegenskap är mycket användbar för både analys och insikt i LTI-system. Z -transformationen

$$H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}= \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$$

är exakt sättet att få egenvärdena från impulssvaret. Av särskilt intresse är rena sinusoider; dvs exponentialer av formen $e^{j\omega n}$ , där $\omega \in \mathbb {R}$ . Dessa kan också skrivas som $z^{n}$ med $z=e^{j\omega }$ . Fouriertransformen med diskret tid (DTFT) $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n] \}$ ger egenvärdena för rena sinusoider . Både $H(z)$ och $H(e^{j\omega })$ kallas systemfunktionen , systemsvaret eller överföringsfunktionen .

Precis som den ensidiga Laplace-transformen används Z-transformen vanligtvis i sammanhanget med ensidiga signaler, dvs signaler som är noll för t<0. Fourier-serien för diskret-tids-Fouriertransform kan användas för att analysera periodiska signaler.

På grund av faltningsegenskapen för båda dessa transformer, kan faltningen som ger systemets utdata omvandlas till en multiplikation i transformationsdomänen. Det är,

$$y[n]=(h*x)[n]=\summa _{m=-\infty }^{\infty }h[nm]x[m]={\mathcal {Z}}^{ -1}\{H(z)X(z)\}.$$

Precis som med Laplace-transformöverföringsfunktionen i kontinuerlig systemanalys gör Z-transformen det lättare att analysera system och få insikt i deras beteende.

Exempel

• Ett enkelt exempel på en LTI-operator är fördröjningsoperatorn $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}} {=}} x[n-1]$ .
  • $D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)= c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2} \cdot Dx_{2}[n]$ (dvs den är linjär)
  • ${\displaystyle D\{x[nm]\ }=x[nm-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[nm]} ($ dvs det är tidsinvariant)

  Z-transformen av fördröjningsoperatorn är en enkel multiplikation med z ⁻¹ . Det är,

  $${\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).$$
• En annan enkel LTI-operatör är medelvärdesoperatorn
  $${\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=na}^{n+ a}x[k].$$
  På grund av summans linjäritet,
  $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}& =\summa _{k=na}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{ 1}\summa _{k=na}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\summa _{k=na}^{n+a}x_{2}[k]\ \&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[ n]\right\},\end{aligned}}$$
  och så är det linjärt. Därför att,
  $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[nm]\right\}&=\summa _{k=na}^{ n+a}x[km]\\&=\summa _{k'=(nm)-a}^{(nm)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\ vänster\{x\right\}[nm],\end{aligned}}$$
  det är också tidsinvariant.

Viktiga systemegenskaper

Ingångs-utgångsegenskaperna för ett tidsdiskret LTI-system beskrivs fullständigt av dess impulssvar $h[n]$ . Två av de viktigaste egenskaperna hos ett system är kausalitet och stabilitet. Icke-kausala (i tid) system kan definieras och analyseras enligt ovan, men kan inte realiseras i realtid. Instabila system kan också analyseras och byggas, men är bara användbara som en del av ett större system vars övergripande överföringsfunktion är stabil.

Kausalitet

Huvudartikel: Kausalsystem

Ett tidsdiskret LTI-system är kausalt om det aktuella värdet på utsignalen beror på endast det aktuella värdet och tidigare värden för ingången. En nödvändig och tillräcklig förutsättning för kausalitet är

$$h[n]=0\ \forall n<0,$$

där $h[n]$ är impulssvaret. Det är generellt inte möjligt att fastställa kausalitet från Z-transformen, eftersom den inversa transformationen inte är unik . När ett område av konvergens specificeras kan kausalitet bestämmas.

Stabilitet

Huvudartikel: BIBO stabilitet

Ett system är bounded input, bounded output stabil (BIBO stabil) om utgången är ändlig för varje bounded ingång. Matematiskt, om

$$\|x[n]\|_{\infty }<\infty$$

innebär det

$$\|y[n]\|_{\infty }<\infty$$

(det vill säga om begränsad inmatning innebär begränsad utdata, i den meningen att de maximala absoluta värdena för $x[n]$ och $y[n]$ är ändliga), då systemet är stabilt. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor är att ${\displaystyle h[n]} ,$ impulssvaret, uppfyller

$$\|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n ]|<\infty .$$

I frekvensdomänen måste konvergensområdet innehålla enhetscirkeln (dvs. lokuset som uppfyller $|z|=1$ för komplext z ).

Se även

• Cirkulerande matris
• Frekvenssvar
• Impulsivt svar
• Systemanalys
• Grön funktion
• Signalflödesgraf

•   Phillips, Cl, Parr, JM, & Riskin, EA (2007). Signaler, system och transformationer . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2 . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
•   Hespanha, JP (2009). Linjär systemteori . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14021-6 .
• Crutchfield, Steve (12 oktober 2010), "The Joy of Convolution" , Johns Hopkins University , hämtad 21 november 2010
• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (maj 1995). "Roll av antikausala inverser i flerhastighetsfilterbanker - Del I: systemteoretiska grunder" ( PDF) . IEEE Trans. Signalprocess . 43 (6): 1090. Bibcode : 1995ITSP...43.1090V . doi : 10.1109/78.382395 .

Vidare läsning

•   Porat, Boaz (1997). En kurs i digital signalbehandling . New York: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3 .
• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (maj 1995). "Roll av antikausala inverser i flerhastighetsfilterbanker - Del I: systemteoretiska grunder" ( PDF) . IEEE Trans. Signalprocess . 43 (5): 1090. Bibcode : 1995ITSP...43.1090V . doi : 10.1109/78.382395 .

externa länkar

• ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems – Kort primer om matematisk analys av (elektriska) LTI-system.
• ECE 209: källor till fasförskjutning – Ger en intuitiv förklaring av källan till fasförskjutning i två vanliga elektriska LTI-system.
• JHU 520.214 Signaler och system kursnoteringar . En inkapslad kurs om LTI-systemteori. Lämplig för självlärande.
• Exempel på LTI-system: RC lågpassfilter . Amplitud och fassvar.