Matrix penna

I linjär algebra , om $A_{0},A_{1},\dots ,A_{\ell }$ är $n\ gånger n$ komplexa matriser för något icke-negativt heltal $\ell$ , och ${\displaystyle A_{\ell }\neq 0} ($ nollmatrisen), då är matrispennan av grad $\ell$ matrisen -värderad funktion definierad på de komplexa talen $L(\lambda )=\sum _{i=0}^{\ell }\lambda ^{i}A_{i}.$

Ett speciellt fall är en linjär matrispenna $A-\lambda B\,$ med $\lambda \in \mathbb {C} {\text{ (eller }}\mathbb {R} {\text{),}}$ där $A$ och $B$ är komplexa (eller reella) $n\ gånger n$ matriser. Vi betecknar det kort med notationen $(A,B)$ .

En penna kallas vanlig om det finns minst ett värde på $\lambda$ så att $\det(A-\lambda B)\neq 0$ . Vi kallar egenvärden för en matrispenna $(A,B)$ alla komplexa tal $\lambda$ för vilka $\det(A-\ lambda B)=0$ (se egenvärde för jämförelse). Mängden egenvärden kallas pennans spektrum och skrivs $\sigma (A,B)$ . Dessutom sägs pennan ha ett eller flera egenvärden i oändligheten om $B$ har ett eller flera 0 egenvärden.

Ansökningar

Matrispennor spelar en viktig roll i numerisk linjär algebra . Problemet med att hitta egenvärdena för en penna kallas det generaliserade egenvärdesproblemet . Den mest populära algoritmen för denna uppgift är QZ-algoritmen , som är en implicit version av QR-algoritmen för att lösa det associerade egenvärdesproblemet $B^{-1}Ax=\lambda x$ utan att explicit bilda matrisen $B^{-1}A$ (vilket kan vara omöjligt eller dåligt betingat om $B$ är singular eller nästan singular)

Penna genererad av pendlingsmatriser

Om $AB=BA$ , då är pennan som genereras av $A$ och $B$ :

består endast av matriser som liknar en diagonal matris, eller
har inga matriser i sig som liknar en diagonal matris, eller
har exakt en matris i sig som liknar en diagonal matris.

Se även

Anteckningar

Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3:e upplagan), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
Marcus & Minc (1969), A survey of matrix theory and matrix oequalities , Courier Dover Publications