Funktionsfält (schemateori)

Kurven av rationella funktioner K _X i ett schema X är generaliseringen till schemateori av begreppet funktionsfält för en algebraisk variation i klassisk algebraisk geometri . När det gäller sorter, associerar en sådan kärve till varje öppen uppsättning U ringen av alla rationella funktioner på den öppna uppsättningen ; med andra ord, K _X ( U ) är mängden bråkdelar av reguljära funktioner på U . Trots sitt namn K _X inte alltid ett fält för ett allmänt schema X .

Enkla fall

I de enklaste fallen är definitionen av K _X enkel. Om X är en (oreducerbar) affin algebraisk variant , och om U är en öppen delmängd av X , så kommer K _X ( U ) att vara fältet av fraktioner av ringen av reguljära funktioner på U . Eftersom X är affin, kommer ringen av reguljära funktioner på U att vara en lokalisering av de globala sektionerna av X , och följaktligen kommer K _X att vara den konstanta strängen vars värde är bråkdelen av de globala sektionerna av X.

Om X är integral men inte affin, kommer alla icke-tomma affina öppna uppsättningar att vara täta i X . Detta betyder att det inte finns tillräckligt med utrymme för en vanlig funktion att göra något intressant utanför U , och följaktligen bör beteendet hos de rationella funktionerna på U avgöra beteendet hos de rationella funktionerna på X . Faktum är att bråkfälten för ringarna av reguljära funktioner på alla öppna funktioner är desamma, så vi definierar, för varje U , K _X ( U ) att vara det vanliga bråkfältet för varje ring av reguljära funktioner på vilken öppen affin som helst delmängd av X . Alternativt kan man definiera funktionsfältet i detta fall att vara den lokala ringen för den generiska punkten .

Allmänt fall

Problemet börjar när X inte längre är integral. Då är det möjligt att ha nolldelare i ringen av reguljära funktioner, och följaktligen finns inte bråkfältet längre. Den naiva lösningen är att ersätta bråkfältet med den totala kvotringen , det vill säga att invertera varje element som inte är en nolldelare. Tyvärr producerar den totala kvotringen i allmänhet inte en förkärv mycket mindre en kärve. Den välkända artikeln av Kleiman, listad i bibliografin, ger ett sådant exempel.

Den korrekta lösningen är att gå tillväga enligt följande:

För varje öppen mängd U , låt S _U vara mängden av alla element i Γ( U , O _X ) som inte är nolldelare i någon stjälk O _X,x . Låt K _X ^pre vara förstaven vars sektioner på U är lokaliseringar SU ₋₁ ^. Γ( U , O _X ) och vars restriktionskartor induceras från restriktionskartorna för O _X av den universella egenskapen för lokalisering Då är K _X kärven som är associerad med preskärven K _X ^pre .

Ytterligare frågor

När K _X väl har definierats är det möjligt att studera egenskaper hos X som endast beror på K _X . Detta är ämnet för birational geometri .

Om X är en algebraisk variant över ett fält k , så har vi över varje öppen mängd U en fältförlängning K _X ( U ) på k . Dimensionen på U kommer att vara lika med transcendensgraden för denna fältförlängning. Alla finita transcendensgradsfältförlängningar av k motsvarar det rationella funktionsfältet för någon sort.

I det speciella fallet med en algebraisk kurva C , det vill säga dimension 1, följer det att två icke-konstanta funktioner F och G på C uppfyller en polynomekvation P ( F , G ) = 0.

Bibliografi

• Kleiman, S., "Misuppfattningar om K _X ", Enseign. Matematik. 25 (1979), 203–206, tillgänglig på https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1979:25::101