Förgrenat grenrör

I matematik är ett grenat grenrör en generalisering av ett differentierbart grenrör som kan ha singulariteter av mycket begränsad typ och medger ett väldefinierat tangentutrymme vid varje punkt. Ett grenat n -grenrör täcks av n -dimensionella "koordinatdiagram", som vart och ett involverar en eller flera "grenar" som homeomorft projicerar in i samma differentierbara ⁿ - skiva i Rn . Förgrenade grenrör dök först upp i den dynamiska systemteorin , i samband med endimensionella hyperboliska atttraktorer konstruerade av Smale och formaliserades av RF Williams i en serie artiklar om expanderande atttraktorer. Särskilda fall av låga dimensioner är kända som tågspår ( n = 1) och grenade ytor ( n = 2) och spelar en framträdande roll i geometrin hos tre grenrör efter Thurston .

Definition

Låt K vara ett mätbart rum , tillsammans med:

1. en samling { U _i } av slutna delmängder av K ;
2. för varje Ui _, en finit samling { Dij _} av slutna delmängder av Ui _;
3. för varje i , en avbildning π _i : U _i → D _i ⁿ till en sluten n -skiva av klass C ^k i R ⁿ .

Dessa uppgifter måste uppfylla följande krav:

1. ∪ _j D _ij = U _i och ∪ _i Int U _i = K ;
2. begränsningen av πi till Dij är en homeomorfism på dess bild _πi ( Dij ) _som är en sluten klass _C ^k n -skiva _i förhållande till gränsen för D _i ⁿ ;
3. det finns en samcykel av diffeomorfismer { α _lm } av klass C ^k ( k ≥ 1) så att π _l = α _lm · π _m när den definieras. Domänen för α _lm är π _m ( U _l ∩ Um ₎ .

är utrymmet K ett grenat n -grenrör av klass C ^k .

Standardmaskineriet för differentiell topologi kan anpassas till fallet med grenade grenrör. Detta leder till definitionen av tangentrymden T _p K till ett grenat n -grenrör K vid en given punkt p , vilket är ett n -dimensionellt reellt vektorrum ; en naturlig föreställning om en C ^k differentierbar karta f : K → L mellan grenade grenrör, dess differential df : T p _K → T f _{( p ) L} , grodden till f at p , jetutrymmen och andra relaterade föreställningar.

Exempel

är grenade n -förgreningar n -dimensionella komplex inbäddade i något euklidiskt utrymme så att varje punkt har ett väldefinierat n -dimensionell tangentrymd.

• En finit graf vars kanter är jämnt inbäddade bågar i en yta , så att alla kanter som faller in på en given vertex v har samma tangentlinje vid v , är ett grenat engrenrör, eller tågspår (det finns flera varianter av begreppet ett tågspår — här läggs ingen begränsning på topparnas valenser). Som ett specifikt exempel, betrakta "siffran åtta" som bildas av två externt tangentiella cirklar i planet.
• Ett tvåkomplex i R ³ som består av flera löv som tangentiellt kan komma ihop i par längs vissa dubbla kurvor, eller komma samman i trippel vid isolerade singulära punkter där dessa dubbla kurvor skär tvärs, är en grenad tvågrenad yta eller grenad yta . Betrakta till exempel utrymmet K som erhållits från 3 kopior av det euklidiska planet, märkta T (överst), M (mitten) och B (botten) genom att identifiera halvplanen y ≤ 0 i T och M och halvplanen x ≤ 0 i M och B. Man kan föreställa sig att M är det platta koordinatplanet z=0 i R ³ , T ett blad som krullar sig uppåt från M längs x -axeln till höger (positiv y -riktning) och B ytterligare ett blad som krullar sig nedåt från M längs y -axeln framför (positiv x -riktning). Koordinataxlarna i M -planet är de dubbla kurvorna för K , som skär tvärs över en unik trippelpunkt (0,0).

• Robert F. Williams, Expanding attractors , Publ. Matematik. IHES, t. 43 (1974), sid. 169–203