Hyperboliskt set

I dynamisk systemteori sägs en delmängd Λ av ett jämnt grenrör M ha en hyperbolisk struktur med avseende på en jämn karta f om dess tangentbunt kan delas upp i två invarianta delknippen , varav det ena drar ihop sig och det andra expanderar under f , med avseende på någon riemannisk metrik på M . En analog definition gäller fallet med flöden .

I det speciella fallet när hela grenröret M är hyperboliskt kallas kartan f en Anosov-diffeomorfism . Dynamiken för f på en hyperbolisk uppsättning, eller hyperbolisk dynamik , uppvisar drag av lokal strukturell stabilitet och har studerats mycket, jfr. Axiom A.

Definition

Låt M vara ett kompakt jämnt grenrör , f : M → M en diffeomorfism , och Df : TM → TM differentialen för f . En f -invariant delmängd Λ av M sägs vara hyperbolisk , eller ha en hyperbolisk struktur , om begränsningen till Λ för tangentknippet av M tillåter en uppdelning i en Whitney-summa av två Df -invarianta delknippen, kallad den stabila bunten och det instabila knippet och betecknas Es och E ^{u .} Med avseende på någon riemannisk metrik på M måste begränsningen av Df till E ^s vara en sammandragning och begränsningen av Df till E ^u måste vara en expansion. Det finns alltså konstanter 0< λ <1 och c >0 så att

$T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u}$

och

$(Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}$ och $(Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}$ för alla ${\ displaystyle x\in \Lambda }$

och

$\|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|$ för alla $v\in E^{s}$ och $n>0$

och

$\|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|$ för alla ${ \displaystyle v\in E^{u}}$ och $n>0$ .

Om Λ är hyperbolisk så finns det ett Riemannsk mått för vilket c = 1 - ett sådant mått kallas anpassat .

Exempel

• Hyperbolisk jämviktspunkt p är en fixpunkt , eller jämviktspunkt, för f , så att ( Df ) _p inte har något egenvärde med absolutvärde 1. I detta fall är Λ = { p }.
• Mer generellt är en periodisk omloppsbana av f med period n hyperbolisk om och endast om Dfn vid någon punkt i omloppsbanan inte har något egenvärde med absolutvärde 1, och det räcker ^med att kontrollera detta tillstånd vid en enda punkt i omloppsbanan.

•   Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Mekanikens grunder . Läsmässa: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X .
•   Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002). Introduktion till dynamiska system . Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3 .

Den här artikeln innehåller material från Hyperbolic Set på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .