Tågspår (matematik)

Ett tågspår på en trippel torus .

Inom det matematiska området topologi är ett tågspår en familj av kurvor inbäddade på en yta som uppfyller följande villkor:

1. Kurvorna möts vid en ändlig uppsättning hörn som kallas omkopplare .
2. Bort från omkopplarna är kurvorna jämna och berör inte varandra.
3. Vid varje växel möts tre kurvor med samma tangentlinje, med två kurvor som kommer in från en riktning och en från den andra.

Den huvudsakliga tillämpningen av tågspår i matematik är att studera laminering av ytor, det vill säga uppdelningar av slutna undergrupper av ytor till sammanslutningar av släta kurvor. Tågspår har också använts vid grafritning .

Tågspår och laminering

En växel i ett tågspår och motsvarande del av en laminering.

En laminering av en yta är en uppdelning av en sluten delmängd av ytan i jämna kurvor. Studiet av tågspår motiverades ursprungligen av följande observation: Om en generisk laminering på en yta betraktas på avstånd av en närsynt person kommer den att se ut som ett tågspår.

En växel i ett tågspår modellerar en punkt där två familjer av parallella kurvor i lamineringen smälter samman till en enda familj, som visas i illustrationen. Även om omkopplaren består av tre kurvor som slutar i och skär varandra i en enda punkt, har kurvorna i lamineringen inte ändpunkter och skär inte varandra.

För denna tillämpning av tågspår på lamineringar är det ofta viktigt att begränsa de former som kan bildas av sammankopplade komponenter på ytan mellan spårets kurvor. Till exempel kräver Penner och Harer att varje sådan komponent, när den limmas till en kopia av sig själv längs sin gräns för att bilda en slät yta med cusps, har negativ cusped Euler- karaktäristik .

Ett tågspår med vikter , eller vägt tågspår eller uppmätt tågspår , består av ett tågspår med ett icke-negativt reellt tal , kallat en vikt , tilldelat varje gren. Vikterna kan användas för att modellera vilka av kurvorna i en parallellfamilj av kurvor från en laminering som är delad till vilka sidor av omkopplaren. Vikter måste uppfylla följande växlingsvillkor : Vikten som tilldelas den ingående grenen vid en växel ska vara lika med summan av vikterna som tilldelats grenarna som utgår från den växeln. Vikter är nära besläktade med tanken att bära . Ett tågspår sägs bära en laminering om det finns ett tågspårsområde så att varje blad av laminatet finns i grannskapet och skär varje vertikal fiber på tvären. Om varje vertikal fiber har en icke-trivial korsning med något löv, bärs lamineringen helt av tågspåret.

•   Penner, RC, med Harer, JL (1992). Kombinatorik av tågspår . Princeton University Press, Annals of Mathematics Studies. ISBN 0-691-02531-2 . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )