Eutaktisk stjärna

En eutaktisk stjärna som består av 5 vektorpar i tredimensionell rymd ( n = 3, s = 5)

Inom euklidisk geometri är en euklidisk stjärna en geometrisk figur i ett euklidiskt utrymme . En stjärna är en figur som består av ett valfritt antal motsatta par av vektorer (eller armar) som kommer från ett centralt ursprung. En stjärna är eutaktisk om den är den ortogonala projektionen av plus och minus uppsättningen av standardbasvektorer (dvs. hörn av en korspolytop ) från ett högre dimensionellt utrymme till ett delrum . Sådana stjärnor kallades "eutaktiska" - vilket betyder "välplacerade" eller "välordnade" - av Schläfli (1901 , s. 134) eftersom deras vektorer för en vanlig skalär multipel är projektioner av ortonormal basis .

Definition

En eutaktisk stjärna i planet ( n = 2, s = 4)

En stjärna definieras här som en uppsättning av 2 s vektorer A = ± a ₁ , ..., ± a _s som kommer från ett speciellt ursprung i ett euklidiskt utrymme med dimensionen n ≤ s . En stjärna är eutaktisk om a i _är projektionerna på n dimensioner av en uppsättning inbördes vinkelräta lika vektorer b ₁ , ..., b _s som kommer från ett visst ursprung i det euklidiska s -dimensionella rymden. Konfigurationen av 2 s vektorer i det s -dimensionella rymden B = ± b ₁ , ... , ± b _s är känt som ett kors . Med tanke på dessa definitioner är en eutaktisk stjärna, kortfattat, en stjärna som produceras av den ortogonala projektionen av ett kors.

En motsvarande definition, som först nämndes av Schläfli , stipulerar att en stjärna är eutaktisk om en konstant ζ existerar sådan att

$\sum _{k=1}^{s}(\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {v} )^{2}=\zeta |\mathbf {v} |^{ 2}$

för varje vektor v . Förekomsten av en sådan konstant kräver att summan av kvadraterna av de ortogonala projektionerna av A på en linje är lika i alla riktningar. I allmänhet,

$\zeta =\sum _{k=1}^{s}|\mathbf {a} _{k}|^{2}/n.$

En normaliserad eutaktisk stjärna är ett projicerat kors som består av enhetsvektorer . Eutaktiska stjärnor anses ofta ha n = 3 dimensioner på grund av deras koppling till studiet av vanliga polyedrar .

Hadwigers huvudsats

Låt T vara den symmetriska linjära transformationen definierad för vektorer x by

$T\mathbf {x} =\summa _{k=1}^{s}\mathbf {a} _{k}(\ mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {x} ),$

där a j _bildar valfri samling av s vektorer i det n -dimensionella euklidiska rummet. Hadwigers huvudsats säger att vektorerna ± a ₁ , ..., ± a _s bildar en eutaktisk stjärna om och endast om det finns en konstant ζ sådan att T x = ζ x för varje x . Vektorerna bildar en normaliserad eutaktisk stjärna precis när T är identitetsoperatören – när ζ = 1.

På motsvarande sätt är stjärnan normaliserad eutaktisk om och endast om matrisen A = [ a ₁ ... a _s ], vars kolumner är vektorerna a _k , har ortonormala rader. Ett bevis kan ges i en riktning genom att komplettera raderna i denna matris till en ortonormal basis av ${\displaystyle \mathbb {R} ^{s}} ,$ och i den andra genom att projicera ortogonalt på det n -dimensionella delutrymmet som spänner över av de första n kartesiska koordinatvektorerna.

Hadwigers teorem antyder motsvarigheten av Schläflis bestämmelse och den geometriska definitionen av en eutaktisk stjärna, genom polarisationsidentiteten . Vidare ger både Schläflis identitet och Hadwigers sats samma värde på konstanten ζ .

Ansökningar

polytopers geometri och grupper av ortogonala transformationer . Schläfli visade tidigt att vektorerna från mitten av en vanlig polytop till dess hörn bildar en eutaktisk stjärna. Brauer och Coxeter bevisade följande generalisering:

En stjärna är eutaktisk om den omvandlas till sig själv av någon irreducerbar grupp av ortogonala transformationer som verkar transitivt på par av motsatta vektorer.

En irreducerbar grupp betyder här en grupp som inte lämnar något icke-trivialt egentligt delrum invariant (se irreducibel representation ) . Eftersom den mängdteoretiska föreningen av två eutaktiska stjärnor i sig är eutaktisk (en konsekvens av Hadwigers huvudsats ), kan man dra slutsatsen att i allmänhet:

En stjärna är eutaktisk om den omvandlas till sig själv av någon irreducerbar grupp av ortogonala transformationer.

Eutaktiska stjärnor kan användas för att validera eutaxi av vilken form som helst i allmänhet. Enligt HSM Coxeter : "En form är eutaktisk om och endast om dess minimala vektorer är parallella med vektorerna för en eutaktisk stjärna."

Se även

• Eutaktisk galler
• Tät ram

•   Schläfli, Ludwig (1901) [1852], Graf, JH (red.), Theorie der vielfachen Kontinuität , Återpublicerad av Cornell University Library historiska matematikmonografier 2010 (på tyska), Zürich, Basel: Georg & Co., ISBN 978-1 -4297-0481-6