Platt (geometri)

Inom geometri är ett platt eller euklidiskt underrum en delmängd av ett euklidiskt utrymme som i sig är ett euklidiskt utrymme (av lägre dimension ). Lägenheterna i det tvådimensionella rymden är punkter och linjer , och lägenheterna i det tredimensionella rummet är punkter, linjer och plan .

I ett $n$ -dimensionellt utrymme finns plattor av varje dimension från 0 till $n -1$ ; plattor med dimensionen $n -1$ kallas hyperplan .

Lägenheter är de affina underrymden av euklidiska utrymmen, vilket betyder att de liknar linjära underrum , förutom att de inte behöver passera genom ursprunget . Flats förekommer i linjär algebra , som geometriska realiseringar av lösningsuppsättningar av system av linjära ekvationer .

En lägenhet är en grenrör och en algebraisk variation , och kallas ibland en linjär grenrör eller linjär variation för att skilja den från andra grenrör eller varianter.

Beskrivningar

Genom ekvationer

En lägenhet kan beskrivas med ett system av linjära ekvationer . Till exempel kan en linje i tvådimensionell rymd beskrivas med en enda linjär ekvation som involverar $x$ och $y$ :

3x+5y=8.

I det tredimensionella rummet definierar en enda linjär ekvation som involverar $x$ , $y$ och $z$ ett plan, medan ett par linjära ekvationer kan användas för att beskriva en linje. I allmänhet beskriver en linjär ekvation i $n$ variabler ett hyperplan, och ett system av linjära ekvationer beskriver skärningspunkten mellan dessa hyperplan. Om vi antar att ekvationerna är konsekventa och linjärt oberoende , beskriver ett system av $k ekvationer en plan med dimensionen$ $n - k$ .

Parametrisk

En lägenhet kan också beskrivas med ett system av linjära parametriska ekvationer . En linje kan beskrivas med ekvationer som involverar en parameter :

x=2+3t,\;\;\;\;y=-1+t\;\;\;\ ;z={\frac {3}{2}}-4t

medan beskrivningen av ett plan skulle kräva två parametrar:

x=5+2t_{1}-3t_{2},\;\;\;\;y=-4+t_{1}+2t_{2}\;\;\;\;z=5t_ {1}-3t_{2}.\,\!

I allmänhet skulle en parametrering av en lägenhet med dimensionen k $kräva$ parametrarna $ti tk, \dots, .$

Verksamhet och relationer på lägenheter

Skärande, parallella och sneda lägenheter

En korsning av lägenheter är antingen en lägenhet eller den tomma uppsättningen .

Om varje linje från en lägenhet är parallell med någon linje från en annan lägenhet, då är dessa två lägenheter parallella . Två parallella lägenheter av samma dimension antingen sammanfaller eller skär varandra inte; de kan beskrivas av två linjära ekvationssystem som endast skiljer sig åt på höger sida.

Om plattor inte skär varandra och ingen linje från den första planen är parallell med en linje från den andra plattan, är dessa sneda plattor . Det är endast möjligt om summan av deras dimensioner är mindre än dimensionen för det omgivande utrymmet.

Ansluta sig

För två lägenheter med dimensionerna $k 1$ och $k 2$ finns den minimala platta som innehåller dem, med dimensionen som högst $k 1 + k 2 + 1$ . Om två lägenheter korsar varandra, är dimensionen på den innehållande planen lika med $k 1 + k 2$ minus dimensionen på skärningen.

Verksamhetens egenskaper

Dessa två operationer (refererade till som meet and join ) gör uppsättningen av alla lägenheter i det euklidiska $n$ -utrymmet till ett gitter och kan bygga systematiska koordinater för lägenheter i vilken dimension som helst, vilket leder till Grassmann-koordinater eller dubbla Grassmann-koordinater. Till exempel bestäms en linje i det tredimensionella rummet av två distinkta punkter eller av två distinkta plan.

Gallret för alla lägenheter är dock inte ett distributionsgitter . Om två linjer $ℓ 1$ och $ℓ 2$ skär varandra, är $ℓ 1 \cap ℓ 2$ en punkt. Om $p$ är en punkt som inte ligger på samma plan, då $(ℓ 1 \cap ℓ 2) + p = (ℓ 1 + p) \cap (ℓ 2 + p)$ , representerar båda en linje. Men när $ℓ 1$ och $ℓ 2 är parallella,$ misslyckas denna fördelning , vilket ger $p$ på vänster sida och en tredje parallell linje på höger sida.

Euklidisk geometri

Ovannämnda fakta beror inte på att strukturen är den i det euklidiska utrymmet (nämligen involverar euklidiskt avstånd ) och är korrekta i alla affina utrymmen . I ett euklidiskt utrymme:

Det finns avståndet mellan en plan och en punkt. (Se till exempel Avstånd från en punkt till ett plan och Avstånd från en punkt till en linje. )
Det finns avståndet mellan två lägenheter, lika med 0 om de skär varandra. (Se till exempel Avstånd mellan två linjer (i samma plan) och Skev linjer § Avstånd .)
Det finns vinkeln mellan två plattor, som hör till intervallet $[0, π/2]$ mellan 0 och den räta vinkeln . (Se till exempel Dihedral vinkel (mellan två plan). Se även Vinklar mellan plattor .)

Se även

Anteckningar

Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry , sid 7, Krieger, New York.
Stolfi, Jorge (1991), Oriented Projective Geometry , Academic Press , ISBN 978-0-12-672025-9 Från original Stanford Ph.D. avhandling, Primitives for Computational Geometry , tillgänglig som DEC SRC Research Report 36 Arkiverad 2021-10-17 på Wayback Machine .

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Hyperplan" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Flat" . MathWorld .