Ett annat ideal

I algebraisk talteori definieras det olika idealet (ibland helt enkelt det olika ) för att mäta den (möjliga) bristen på dualitet i ringen av heltal i ett algebraiskt talfält K , med avseende på fältspåret . Den kodar sedan förgreningsdata för primärideal för ringen av heltal. Det introducerades av Richard Dedekind 1882.

Definition

Om O _K är ringen av heltal av K , och tr anger fältspåret från K till det rationella talfältet Q , då

$x\mapsto \mathrm {tr} ~x^{2}$

är en integral kvadratisk form på O _K . Dess diskriminant som kvadratisk form behöver inte vara +1 (det händer faktiskt bara för fallet K = Q ). Definiera den inversa olika eller codifferenta eller Dedekinds komplementära modul som mängden I av x ∈ K så att tr( xy ) är ett heltal för alla y i O _K , då är I ett bråksideal av K som innehåller O _K . Per definition är det olika idealet δ _K det omvända bråksidealet I ⁻¹ : det är ett ideal för O _K .

Den ideala normen för δ _K är lika med idealet för Z som genereras av fältdiskriminanten D _K för K .

Skillnaden för ett element α av K med minimalt polynom f definieras till δ(α) = f ′(α) om α genererar fältet K (och noll annars): vi kan skriva

$\delta (\alpha )=\prod \left({\alpha -\alpha ^{(i)}}\right)\$

där α ^{( i )} löper över alla rötter i det karakteristiska polynomet för α annat än α själv. Det olika idealet genereras av skillnaderna för alla heltal α _i OK . Detta är Dedekinds ursprungliga definition.

Skillnaden definieras också för en ändlig utsträckning av lokala fält . Det spelar en grundläggande roll i Pontryagin-dualitet för p-adiska fält .

Relativt annorlunda

Den relativa olika δ _{L / K} definieras på liknande sätt för en förlängning av talfält L / K . Den relativa normen för den relativa olika är då lika med den relativa diskriminanten Δ _{L / K} . I ett torn av fält L / K / F är de relativa skillnaderna relaterade till δ _{L / F} = δ _{L / K} δ _{K / F} .

Den relativa differensen är lika med annihilatorn för den relativa Kählers differentialmodul Ω $\displaystyle \Omega _{O_{L}/O_{K}}^{1}}$ :

$\delta _{L/K}=\{x\in O_{L}:x\mathrm {d} y=0{\text{ för alla }}y\in O_{L}\}.$

Den ideala klassen för de relativa olika δ _{L / K} är alltid en kvadrat i klassgruppen O _L , ringen av heltal av L . Eftersom den relativa diskriminanten är normen för den relativa olika är den kvadraten på en klass i klassgruppen O _K : det är faktiskt kvadraten på Steinitz-klassen för O _L som en O _K -modul.

Förgrening

Den relativa skillnaden kodar förgreningsdata för fältförlängningen L / K . Ett primideal p av K förgrenas i L om faktoriseringen av p i L innehåller ett primtal av L till en potens högre än 1: detta inträffar om och endast om p delar den relativa diskriminanten Δ _{L / K} . Mer exakt, om

p = P ₁ ^{e (1)} ... P _k ^{e ( k )}

är faktoriseringen av p till primideal för L så delar P i de relativa olika δ _{L / K} om och endast om Pi är _förgrenad , det vill säga om och endast om förgreningsindexet e ( i ) _är större än 1. exakt exponent till vilken ett förgrenat primtal P delar δ kallas differentialexponenten för P och är lika med e − 1 om P är tamt förgrenat : det vill säga när P inte delar e . I fallet när P är vilt förgrenad ligger differentialexponenten i intervallet e till e + e ν _P (e) − 1. Differentialexponenten kan beräknas från ordningen av de högre förgreningsgrupperna för Galois-förlängningar:

$$\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).$$

Lokal beräkning

De olika kan definieras för en förlängning av lokala fält L / K . I detta fall kan vi ta förlängningen för att vara enkel , genererad av ett primitivt element α som också genererar en effektintegralbas . Om f är det minimala polynomet för α så genereras differensen av f' (α).

Anteckningar

•    Bourbaki, Nicolas (1994). Element i matematikens historia . Översatt av Meldrum, John. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6 . MR 1290116 .
• Dedekind, Richard (1882), "Über die Discriminanten endlicher Körper" , Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , 29 ( 2): 1–56 . Hämtad 5 augusti 2009
•    Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin (1991), Algebraisk talteori , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press , ISBN 0-521-36664-X , Zbl 0744.11001
•    Hecke, Erich (1981), Föreläsningar om teorin om algebraiska tal , Graduate Texts in Mathematics , vol. 77, översatt av George U. Brauer; Jay R. Goldman; med hjälp av R. Kotzen, New York–Heidelberg–Berlin: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90595-2 , Zbl 0504.12001
•    Narkiewicz, Władysław (1990), Elementär och analytisk teori om algebraiska tal (andra, väsentligt reviderad och utökad upplaga), Springer-Verlag ; PWN-Polish Scientific Publishers , ISBN 3-540-51250-0 , Zbl 0717.11045
•     Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
•    Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics , vol. 67, översatt av Greenberg, Marvin Jay , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7 , Zbl 0423.12016
•    Weiss, Edwin (1976), Algebraic Number Theory (2:a oförändrade upplagan), Chelsea Publishing , ISBN 0-8284-0293-0 , Zbl 0348.12101