Hasse–Arfs sats

I matematik , specifikt i lokal klassfältteori, är Hasse -Arf-satsen ett resultat av hopp av den övre numreringsfiltreringen av Galois-gruppen i en finit Galois-förlängning . Ett specialfall av det när restfälten är ändliga bevisades ursprungligen av Helmut Hasse , och det allmänna resultatet bevisades av Cahit Arf .

Påstående

Högre förgreningsgrupper

Satsen behandlar de övre numrerade högre förgreningsgrupperna av en finit abelsk förlängning L / K . Så antag L / K är en finit Galois-förlängning och att vK är en diskret normaliserad värdering av K , vars restfält har karakteristiken p > 0 _, och som medger en unik förlängning till L , säg w . Beteckna med v _L den associerade normaliserade värderingen ew av L och låt $\scriptstyle {\mathcal {O}}$ vara värderingsringen för L under v _L . Låt L / K ha Galois-grupp G och definiera den s -te förgreningsgruppen av L / K för alla reella s ≥ −1 med

G_{s}(L/K)=\{\sigma \in G\,:\,v_{L}(\sigma aa)\geq s+1{\text{ för alla }}a\in {\mathcal {O}}\}.

Så, till exempel, G ₋₁ är Galois-gruppen G . För att gå till den övre numreringen måste man definiera funktionen ψ _{L / K} som i sin tur är inversen av funktionen η _{L / K} definierad av

\eta _{L/K}(s)=\int _{0}^{s}{\frac {dx}{|G_{0}:G_{x}|}}.

Den övre numreringen av förgreningsgrupperna definieras sedan av _{Gt / K} ( L / K ) = Gs ( L / K ) där s = ψL ( t ₎^.

Dessa högre förgreningsgrupper G ^t ( L / K ) är definierade för alla reella t ≥ −1, men eftersom v _L är en diskret värdering kommer grupperna att ändras i diskreta hopp och inte kontinuerligt. Således säger vi att t är ett hopp av filtreringen { G ^t ( L / K ) : t ≥ −1} om G ^t ( L / K ) ≠ G ^u ( L / K ) för någon u > t . Hasse-Arf-satsen berättar om dessa hopps aritmetiska karaktär.

Uttalande av satsen

Med ovanstående uppställning säger satsen att hoppen för filtreringen { G ^t ( L / K ): t ≥ −1} alla är rationella heltal .

Exempel

Antag att G är cyklisk av ordningen $p^{n}$ , $p$ restkarakteristik och $G(i)$ är undergruppen av $G$ av ordning $p^{ni}$ . Satsen säger att det finns positiva heltal $i_{0},i_{1},...,i_{n-1}$ så att

{\displaystyle G_{0}=\cdots =G_{i_{0}}=G=G^{0}=\cdots =G^{i_

i_{0}+1}=

{\displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+1

...

G_{i_{0}+pi_{1}+\cdots +p^{n-1}i_{n-1}+1}=1=G^{i_{0}+\cdots +i_{ n-1}+1}.

Icke-abelska förlängningar

För icke-abelska förlängningar behöver hoppen i den övre filtreringen inte vara heltal. Serre gav ett exempel på en helt förgrenad förlängning med Galois-gruppen, quaternion-gruppen Q ₈ av ordningen 8 med

₀ G = Q ₈
G ₁ = Q ₈
G2 ₌ Z / 2 Z
G3 ₌ Z / 2 Z
G ₄ = 1

Den övre numreringen uppfyller då

Gn = Q ₈ för n ≤1 ^_
Gn ⁼ Z /2 Z för 1< n ≤3 /2
G ⁿ = 1 för 3/2< n

så har ett hopp vid icke-integralvärdet n =3/2.

Anteckningar

Neukirch, Jürgen (1999). Algebraiska Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, översatt av Greenberg, Marvin Jay , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7 , MR 0554237 , Zbl 0423.12016