Monogent fält

I matematik är ett monogent fält ett algebraiskt talfält K för vilket det finns ett element a så att ringen av heltal O _K är subringen Z [ a ] av K genererad av a . Då O _K en kvot av polynomringen Z [ X ] och potenserna av a utgör en potensintegralbas .

I ett monogent fält K är fältdiskriminanten för K lika med diskriminanten för det minimala polynomet av α .

Exempel

Exempel på monogena fält inkluderar:

• Kvadratiska fält :

om $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ med $d$ ett kvadratfritt heltal , då $O_{K}=\mathbf {Z} [a]$ där $a=(1+{\sqrt {d}})/2$ om d ≡ 1 (mod 4) och $a={\sqrt {d}}$ om d ≡ 2 eller 3 (mod 4).

• Cyklotomiska fält :

om $K=\mathbf {Q} (\zeta)$ med $\zeta$ en enhetsrot , då $O_{K}=\mathbf {Z} [\zeta ].$ Även det maximala reella underfältet $\mathbf {Q} (\zeta ) ^{+}=\mathbf {Q} (\zeta +\zeta ^{-1})$ är monogent, med ring av heltal $\mathbf {Z} [\zeta + \zeta ^{-1}]$ .

Medan alla kvadratiska fält är monogena, finns det redan bland kubiska fält många som inte är monogena. Det första exemplet på ett icke-monogent talfält som hittades är det kubiska fältet som genereras av en rot av polynomet $X^{3}-X^{2}-2X -8$ , på grund av Richard Dedekind .

•    Narkiewicz, Władysław (2004). Elementär och analytisk teori för algebraiska tal (3:e upplagan). Springer-Verlag . sid. 64. ISBN 3-540-21902-1 . Zbl 1159.11039 .
•    Gaál, István (2002). Diofantiska ekvationer och kraftintegralbaser . Boston, MA: Birkhäuser Verlag . ISBN 978-0-8176-4271-6 . Zbl 1016.11059 .