Finita förlängningar av lokala fält

Inom algebraisk talteori , genom komplettering, kan studiet av förgreningen av ett primärideal ofta reduceras till fallet med lokala fält där en mer detaljerad analys kan utföras med hjälp av verktyg som förgreningsgrupper .

I den här artikeln är ett lokalt fält icke-arkimediskt och har ändligt restfält .

Oramifierad tillägg

Låt $L/K$ vara en finit Galois-förlängning av icke-arkimediska lokala fält med finita restfält $\ell /k$ och Galois-gruppen $G$ . Då är följande likvärdiga.

(i) $L/K$ är oframifierad .
(ii) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}} är ett fält,$ där ${\mathfrak {p}}$ är det maximala idealet för ${\mathcal {O}}_{K}$ .
(iii) $[L:K]=[\ell :k]$
(iv) Tröghetsundergruppen för $G$ är trivial.
(v) Om $\pi$ är ett uniformerande element av $K$ , så är $\pi$ också ett uniformerande element av $L$ .

När $L/K$ är oframifierad, med (iv) (eller (iii)), kan G identifieras med $\operatorname {Gal} (\ell /k )$ , som är ändlig cyklisk .

Ovanstående antyder att det finns en ekvivalens av kategorier mellan de ändliga oförgrenade förlängningarna av ett lokalt fält K och ändliga separerbara förlängningar av restfältet för K.

Helt förgrenad förlängning

Återigen, låt $L/K$ vara en finit Galois-förlängning av icke-arkimediska lokala fält med finita restfält $l/k$ och Galois-gruppen $G$ . Följande är likvärdiga.

$L/K$ är helt förgrenad
$G$ sammanfaller med dess tröghetsundergrupp.
$L=K[\pi ]$ där $\pi$ är en rot av ett Eisensteinpolynom .
Normen $N(L/K)$ innehåller en uniformisering av $K$ .

Se även

Cassels, JWS (1986). Lokala fält . London Mathematical Society Studenttexter. Vol. 3. Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5 . Zbl 0595.12006 .
Weiss, Edwin (1976). Algebraisk talteori (2:a oförändrade upplagan). Chelsea Publishing . ISBN 0-8284-0293-0 . Zbl 0348.12101 .