Ergodiskt flöde

₀ Inom matematiken förekommer ergodiska flöden i geometrin , genom de geodetiska och horocykliska flödena av slutna hyperboliska ytor . Båda dessa exempel har uppfattats i termer av teorin om enhetliga representationer av lokalt kompakta grupper : om Γ är grundgruppen för en sluten yta , betraktad som en diskret undergrupp av Möbius-gruppen G = PSL(2, R ), då det geodetiska flödet och horocykelflödet kan identifieras med de naturliga åtgärderna för undergrupperna A av reella positiva diagonala matriser och N för lägre entriangulära matriser på enhetstangenten G / Γ. Ambrose-Kakutani-satsen uttrycker varje ergodiskt flöde som flödet byggt från en inverterbar ergodisk transformation på ett måttutrymme med hjälp av en takfunktion. När det gäller geodetiska flöden kan den ergodiska transformationen förstås i termer av symbolisk dynamik ; och i termer av de ergotiska handlingarna av Γ på gränsen S ¹ = G / AN och G / A = S ¹ × S ¹ \ diag S ¹ . Ergodiska flöden uppstår också naturligt som invarianter i klassificeringen av von Neumann algebras : flödet av vikter för en faktor av typ III är ett ergodiskt flöde på ett måttutrymme .

Hedlunds teorem: ergodicitet hos geodetiska och horocykelflöden

Metoden som använder representationsteori bygger på följande två resultat:

Om $G$ = $SL(2,R)$ verkar enhetligt på ett Hilbert-utrymme $H$ och $ξ$ är en enhetsvektor fixerad av undergruppen $N$ av övre entriangulära matriser, då är $ξ$ fixerad med $G$ .
Om $G$ = $SL(2,R)$ verkar enhetligt på ett Hilbert-utrymme $H$ och $ξ$ är en enhetsvektor fixerad av undergruppen $A$ av diagonala matriser av determinant $1$ , då är $ξ$ fixerad med $G$ .

$0$ (1) Som ett topologiskt utrymme kan det homogena utrymmet $X$ = $G / N$ identifieras med $R 2 \ {0$ } med standardverkan av $G$ som $2 \times 2$ matriser. Undergruppen av $N$ har två typer av banor: banor parallella med $x$ -axeln med $y \neq 0$ ; och pekar på $x$ -axeln. En kontinuerlig funktion på $X$ som är konstant på $N$ -banor måste därför vara konstant på den reella axeln med origo borttaget. Sålunda uppfyller matriskoefficienten $ψ(x)$ = $(x ξ,ξ)$ $ψ(g)$ = $1$ för $g$ i $A \cdot N$ . Genom enhetlighet, || $g ξ - ξ$ || $2$ = $2 - ψ(g) - ψ(g -1)$ = , så att $g ξ$ = $ξ$ för alla $g$ i $B$ = $A \cdot N$ = $N \cdot A$ . Låt $oss$ nu vara matrisen ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ . Då, vilket lätt kan verifieras, är den dubbla coseten $BsB$ tät i $G$ ; detta är ett specialfall av Bruhat-nedbrytningen . Eftersom $ξ$ är fixerad av $B är$ matriskoefficienten $ψ(g)$ konstant på $BsB$ . Med densitet är $ψ(g)$ = $1$ för alla $g$ i $G$ . Samma argument som ovan visar att $g ξ$ = $ξ$ för alla $g$ i $G$ .

$0$ (2) Antag att $ξ$ är fixerat med $A$ . $För [a , b]$ den enhetliga 1-parametergruppen $N$ ≅ $R$ , låt $P [a, b]$ vara det spektrala delrummet som motsvarar intervallet . Låt $g (s)$ vara den diagonala matrisen med posterna $s$ och $s -1$ för | $s$ | $> 1$ . Då $g (s) P [a, b] g (s) -1 = P [s 2 a, s 2 a]$ . Som | $s$ | tenderar till oändlighet, de senare projektionerna tenderar till 0 i den starka operatortopologin om $0< a < b$ eller $a < b < 0$ . Eftersom $g (s)ξ$ = $ξ$ , följer det $P [a, b] ξ$ = i båda fallen. Av spektralsatsen följer att $ξ$ är i det spektrala delrummet $P ({0})$ ; med andra ord $ξ$ fixerad med $N$ . Men sedan, vid det första resultatet, $ξ$ fixeras med $G$ .

Gustav Hedlunds klassiska satser från tidigt 1930-tal hävdar ergodiciteten hos geodetiska och horocykelflöden som motsvarar kompakta Riemann-ytor med konstant negativ krökning. Hedlunds teorem kan omtolkas i termer av enhetsrepresentationer av $G$ och dess undergrupper. Låt $Γ$ vara en kokompakt undergrupp av $PSL(2, R)$ = $G / {\pm I$ } för vilken alla icke-skalära element är hyperboliska. Låt $X$ = $Γ \ G / K$ där $K$ är undergruppen av rotationer ${\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\ -\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$ . Enhetstangensbunten är $SX$ = $Γ \ G$ , med det geodetiska flödet givet av rätt verkan av $A$ och horocykelflödet av rätt verkan av $N$ . Denna åtgärd är ergod om $L ∞ (Γ \ G ) A$ = $C$ , dvs de funktioner som fixeras av $A$ är bara de konstanta funktionerna. Eftersom $Γ \ G$ är kompakt blir detta fallet om $L 2 (Γ \ G ) A$ = $C$ . Låt $H$ = $L 2 (Γ \ G )$ . Sålunda $G$ enhetligt på $H$ till höger. Alla icke-noll $ξ$ i $H$ fixerad med $A$ måste fixeras med $G$ , av det andra resultatet ovan. Men i det här fallet, om $f$ är en kontinuerlig funktion på $G$ av kompakt stöd med $\int f$ = $1$ , då $ξ$ = $\int f (g) g ξ dg$ . Den högra sidan är lika med $ξ * f$ , en kontinuerlig funktion på $G$ . Eftersom $ξ$ är högerinvariant under $G$ , följer det att $ξ$ är konstant, efter behov. Därför är det geodetiska flödet ergodiskt. Genom att ersätta $A$ med $N$ och använda det första resultatet ovan visar samma argument att horocykelflödet är ergodiskt.

Ambrosius–Kakutani–Krengel–Kubo-satsen

Inducerade flöden

Exempel på flöden inducerade från icke-singulara inverterbara transformationer av måttutrymmen definierades av von Neumann (1932) i hans operatörsteoretiska syn på klassisk mekanik och ergodisk teori . Låt T vara en icke-singular inverterbar transformation av ( X ,μ) som ger upphov till en automorfism τ av A = L ^∞ ( X ). Detta ger upphov till en inverterbar transformation T ⊗ id av måttutrymmet ( X × R ,μ × m ), där m är Lebesgue-mått, och därmed en automorfism τ ⊗ id av A ⊗ L ^∞ ( R ). Translation L _t definierar ett flöde på R som bevarar m och följaktligen ett flöde λ _t på L ^∞ ( R ). Låt S = L ₁ med motsvarande automorfism σ av L ^∞ ( R ). Således ger τ ⊗ σ en automorfism av A ⊗ L ^∞ ( R ) som pendlar med flödet id ⊗ λ _t . Det inducerade måttutrymmet Y definieras av B = L ^∞ ( Y ) = L ^∞ ( X × R ) ^{τ ⊗ σ} , funktionerna fixerade av automorfismen τ ⊗ σ. Den medger det inducerade flödet som ges av begränsningen av id ⊗ λ _t till B . Eftersom λ _t verkar ergodiskt på L ^∞ ( R ), följer att de funktioner som fixeras av flödet kan identifieras med L ^∞ ( X ) ^τ . I synnerhet om den ursprungliga omvandlingen är ergodisk, är flödet som den inducerar också ergodiskt.

Flöden byggda under en takfunktion

Den inducerade åtgärden kan också beskrivas i termer av enhetliga operatörer och det är detta tillvägagångssätt som tydliggör generaliseringen till speciella flöden, det vill säga flöden byggda under takfunktioner. Låt R vara Fouriertransformen på L ² ( R , m ), en enhetlig operator så att R λ( t ) R ^∗ = V _t där λ( t ) är translation med t och V _t är multiplikation med e ^itx . Sålunda V _t i L ^∞ ( R ). Speciellt Vi = RSR * _. _ ^_ _ En takfunktion h är en funktion i A med h ≥ ε1 med ε > 0. Då ger e ^ihx en enhetsrepresentation av R i A , kontinuerlig i den starka operatortopologin och därmed ett enhetligt element W av A ⊗ L ^∞ ( R ) , som verkar på L ² ( X , μ ) ⊗ L ² ( R ). Speciellt W pendlar med I ⊗ V _t . Så $W 1 = (I \otimes R *) W (I \otimes R)$ pendlar med I ⊗ λ( t ). Åtgärden T på L ^∞ ( X ) inducerar en enhetlig U på L ² ( X ) med hjälp av kvadratroten av Radon−Nikodym-derivatan av μ ∘ T med avseende på μ. Den inducerade algebra B definieras som subalgebra av $A \otimes L \infty (R)$ som pendlar med $T \otimes S$ . Det inducerade flödet σ _t ges av $σ t (b) = (I \otimes λ(t)) b (I \otimes λ(- t))$ .

Det speciella flödet $(T\otimesI) W1 . som som$ $som motsvarar pendlar A\otimesL\infty (R)$ takfunktionen $h$ med bastransformation $T$ definieras på algebran B ( H ) ges av elementen i med Det inducerade flödet motsvarar takfunktionen h ≡ 1, konstantfunktionen. Återigen W ₁ , och därmed $(T \otimes I) W 1,$ pendlar med I ⊗ λ( t ). Det speciella flödet på B ( H ) ges återigen av $σ t (b) = (I \otimes λ(t)) b (I \otimes λ(- t))$ . Samma resonemang som för inducerade handlingar visar att funktionerna fixerade av flödet motsvarar funktionerna i A fixerade av σ, så att det speciella flödet är ergodiskt om den ursprungliga icke-singulära transformationen T är ergodisk.

Relation till Hopf-nedbrytning

Om S _t är ett ergodiskt flöde på mätutrymmet ( X ,μ) som motsvarar en 1-parameters grupp av automorfismer σ _t av A = L ^∞ ( X ,μ), då genom Hopf-nedbrytningen antingen varje S _t med t ≠ 0 är dissipativ eller varje S _t med t ≠ 0 är konservativ. I det dissipativa fallet måste det ergodiska flödet vara transitivt, så att A kan identifieras med L ^∞ ( R ) under Lebesgue-mått och R som verkar genom translation.

För att bevisa resultatet på det dissipativa fallet, notera att A = L ^∞ ( X ,μ) är en maximal Abelian von Neumann-algebra som verkar på Hilbert-utrymmet L ² ( X ,μ). Sannolikhetsmåttet μ kan ersättas med ett ekvivalent invariant mått λ och det finns en projektion p i A så att σ _t ( p ) < p för t > 0 och λ( p – σ _t ( p )) = t . I detta fall σ _t ( p ) = E ([ t ,∞)) där E är ett projektionsvärderat mått på R . Dessa projektioner genererar en von Neumann subalgebra B av A . Genom ergodicitet σ _t ( p ) $\uparrow$ 1 som t tenderar till −∞. Hilbertrymden L ² ( X ,λ) kan identifieras med fullbordandet av delrummet av f i A med λ(| f | ² ) < ∞. Delrummet som motsvarar B kan identifieras med L ² ( R ) och B med L ^∞ ( R ). Eftersom λ är invariant under S _t implementeras den av en enhetsrepresentation U _t . Enligt Stone–von Neumann-satsen för det kovarianta systemet B , U _{t ,} medger Hilbertrymden H = L ² ( X ,λ) en nedbrytning L ² ( R ) ⊗ $\ell ^{2}$ där B och U _t verkar bara på den första tensorfaktorn. Om det finns ett element a av A inte i B , så ligger det i kommutanten av B ⊗ C , dvs i B ⊗ B( $\ell ^{2}$ ). If kan alltså realiseras som en matris med poster i B . Multiplicera med χ _{[ r , s ]} i B , kan inmatningarna av a anses vara i L ^∞ ( R ) ∩ L ¹ ( R ). För sådana funktioner f , som ett elementärt fall av den ergotiska satsen tenderar medelvärdet av σ _t ( f ) över [− R , R ] i den svaga operatortopologin till ∫ f ( t ) dt . Därför kommer detta för lämplig χ _{[ r , s ]} att producera ett element i A som ligger i C ⊗ B( $\ell ^{2}$ ) och inte är en multipel av 1 ⊗ I . Men ett sådant element pendlar med U _t så fixeras av σ _t , vilket motsäger ergodicitet. Följaktligen A = B = L ^∞ ( R ).

När alla σ _t med t ≠ 0 är konservativa, sägs flödet vara riktigt ergodiskt . I detta fall följer att för varje icke-noll p i A och t ≠ 0, p ≤ σ _t ( p ) ∨ σ _{2 t} ( p ) ∨ σ _{3 t} ( p ) ∨ ⋅⋅⋅ I synnerhet ∨ _{± t > 0} σ _t ( p ) = 1 för p ≠ 0.

Ambrosius–Kakutani–Krengel–Kubos sats

Teoremet anger att varje ergodiskt flöde är isomorft till ett speciellt flöde som motsvarar en takfunktion med ergodisk bastransformation. Om flödet lämnar ett sannolikhetsmått oföränderligt, gäller detsamma för bastransformationen.

För enkelhetens skull beaktas endast det ursprungliga resultatet av Ambrose (1941) , fallet med ett ergodiskt flöde som bevarar ett sannolikhetsmått $μ$ . Låt $A$ = $L \infty (X,μ)$ och låt $σ t$ vara det ergodiska flödet. Eftersom flödet är konservativt finns det för varje projektion p ≠ 0, 1 i A ett T > 0 utan σ _T ( p ) ≤ p , så att $(1 - p) \land σ T (p) \neq 0$ . Å andra sidan, när r > 0 minskar till noll

a_{r}={1 \over r}\int _{0}^{r}\sigma _{t}(p)\ ,dt\högerpil p

i den starka operatortopologin eller motsvarande den svaga operatortopologin (dessa topologier sammanfaller på unitarer, därav involutioner, därav projektioner). Det räcker faktiskt att visa att om ν är något ändligt mått på A , så tenderar ν( a _{r ) till ν(} p ). Detta följer eftersom f ( t ) = ν(σ _t ( p )) är en kontinuerlig funktion av t så att medelvärdet av f över [0, r ] tenderar till f (0) eftersom r tenderar till 0.

Observera att $0 \leq a r \leq 1$ . Nu för fast r > 0, efter Ambrose (1941) , set

q_{0}(r)=\chi _{[0,1/4]}(a_{r}),\,\,\,q_{1}(r)=\chi _{[3 /4,1]}(a_{r}).

Sätt r = N ^–1 för N stor och f _N = a _r . Således tenderar 0 ≤ f _N ≤ 1 i L ^∞ ( X ,μ) och f _N till en karakteristisk funktion p i L ¹ ( X ,μ). Men sedan, om ε = 1/4, följer det att χ _[0,ε] ( f _N ) tenderar att χ _[0,ε] ( p ) = 1 – p i L ¹ ( X ). Genom att använda uppdelningen A = pA ⊕ (1 − p ) A , reduceras detta till att bevisa att om 0 ≤ h _N ≤ 1 i L ^∞ ( Y ,ν) och h _N tenderar till 0 i L ¹ ( Y ,ν), då χ _[1−ε,1] ( h _N ) tenderar till 0 i L ¹ ( Y ,ν). Men detta följer lätt av Chebyshevs olikhet : verkligen $(1-ε) χ [1-ε,1] (h N) \leq h N$ , så att $ν(χ [1-ε,1] (h N)) \leq (1 -ε) -1 ν(h N)$ , som tenderar till 0 genom antagande.

₀₀₀₀₀₀ Således per definition q ( r ) ∧ q ₁ ( r ) = 0. Dessutom, för r = N ⁻¹ tillräckligt liten, q ( r ) ∧ σ _T ( q ₁ ( r )) > 0. Resonemanget ovan visar att q ( r ) och q ₁ ( r ) tenderar till 1 − p och p som r = N ⁻¹ tenderar till 0. Detta innebär att q ( r )σ _T ( q ₁ ( r )) tenderar till (1 − p )σ _T ( p ) ≠ 0, så är icke-noll för N tillräckligt stor. Genom att fixera en sådan N och, med r = N ⁻¹ , sätta q = q ( r ) och q ₁ = q ₁ ( r ), kan det därför antas att

q_{0}\wedge q_{1}=0,\,\,\,\,q_{0}\wedge \sigma _ {T}(q_{1})>0.

₀ Definitionen av q och q ₁ innebär också att om δ < r /4 = (4 N ) ⁻¹ , då

\sigma _{t}(q_{0})\wedge q_{1}=0\,\,\,\mathrm {för} \,\,\,|t|\leq \delta .

Faktum är att om s < t

\|\sigma _{t}(a_{r})-\sigma _{s}(a_{r})\|_{\infty }=r^{-1}\left\|\int _{r+s}^{r+t}\sigma _{x}(p)\,dx-\int _{s}^{t}\sigma _{x}(p)\,dx\right\ |_{\infty }\leq {2|ts| \över r}.

₀₀ Ta s = 0, så att t > 0 och antag att e = σ _t ( q ) ∧ q ₁ > 0. Så e = σ _t ( f ) med f ≤ q . Då σ _t ( a _r ) e = σ _t ( a _r f ) ≤ 1/4 e och a _r e ≥ 3/4 e , så att

a_{r}-\sigma _{t}(a_{r})\geq a_{r}e-\sigma _{t}(a_{r})e\geq {3 \over 4}e -{1 \over 4}e={1 \over 2}e.

₀ Därför || a _r − σ _t ( a _r )|| _∞ ≥ 1/2. Å andra sidan || a _r − σ _t ( a _r )|| _∞ begränsas ovan av 2 t / r , så att t ≥ r /4. Därför σ _t ( q ) ∧ q ₁ = 0 om | t | ≤ δ.

₀₀₀ Elementen a _r beror kontinuerligt i operatornorm på r på (0,1); från ovan är σ _t ( a _r ) normkontinuerlig i t . Låt B stängningen i operatornormen för den enhetliga *-algebra genererad av σ _t ( a _r )'s. Den är kommutativ och separerbar så, med Gelfand–Naimark-satsen , kan den identifieras med C ( Z ) där Z är dess spektrum , ett kompakt metriskt utrymme. Per definition är B en subalgebra av A och dess stängning B i den svaga eller starka operatortopologin kan identifieras med L ^∞ ( Z ,μ) där μ också används för begränsningen av μ till B. Subalgebra B är invariant under flödet σ _t , som därför är ergodisk Analysen av denna åtgärd på B och B ger alla nödvändiga verktyg för att konstruera den ergotiska transformationen T och takfunktionen h . Detta kommer först att utföras för B (så att A tillfälligt antas sammanfalla med B ) och sedan senare utvidgas till A.

₀₀₀ ₀₀ Projektionerna q och qi motsvarar karakteristiska funktioner för öppna uppsättningar _. X och X ₁ Antagandet om korrekt ergodicitet innebär att föreningen av någon av dessa öppna mängder under översätts med σ _t när t löper över de positiva eller negativa realerna är conull (dvs. komplementet har måttet noll). Genom att ersätta X med deras korsning, en öppen uppsättning, kan det antas att dessa fackföreningar tar ut hela utrymmet (som nu kommer att vara lokalt kompakt istället för kompakt). Eftersom flödet är återkommande passerar varje bana av σ _t genom båda uppsättningarna oändligt många gånger eftersom t tenderar till antingen +∞ eller −∞. Mellan en besvärjelse först i X och sedan i X måste ₁ f anta värdet 1/2 och sedan 3/4. Den sista gången f är lika med 1/2 till första gången den är lika med 3/4 måste innebära en förändring av t på minst 5/4 av Lipschitz kontinuitetsvillkor. Därför måste varje bana skära mängden Ω av x för vilken f ( x ) = 1/2, f (σ _t ( x )) > 1/2 för 0 < t ≤ δ/4 oändligt ofta. Definitionen innebär att olika sektioner med en omloppsbana är åtskilda med ett avstånd på minst δ/4, så Ω skär varje omloppsbana endast ett antal gånger och skärningspunkterna uppträder vid obestämbart stora negativa och positiva tider. Således bryts varje omloppsbana upp i uträkneligt många halvöppna intervall [ r _n ( x ), r _{n +1} ( x )) med en längd som är minst δ/4 med r _n ( x ) som tenderar till ±∞ eftersom n tenderar till ± ∞. Denna partitionering kan normaliseras så att r ( x ) ≤ 0 och r ₁ ( x ) > 0. I synnerhet om x ligger i Ω, då är t = 0. Funktionen r _n ( x ) kallas den n: te returtiden till Ω .

Tvärsnittet Ω är en Borel-mängd eftersom på varje kompakt mängd {σ _t ( x )} med t i [ N ⁻¹ ,δ/4] med N > 4/δ, funktionen g ( t ) = f (σ _t ( x )) har ett infimum som är större än 1/2 + M ⁻¹ för ett tillräckligt stort heltal M . Därför kan Ω skrivas som en räknebar skärningspunkt av mängder, som var och en är en räknebar förening av slutna mängder; så Ω är därför en Borel-mängd. Detta innebär i synnerhet att funktionerna rn är Borel-funktioner på X _. Givet y i Ω, definieras den inverterbara Borel-transformationen T på Ω av S ( y ) = σ _t ( y ) där t = r ₁ ( y ), den första återgångstiden till Ω. Funktionerna r _n ( y ) begränsar till Borel-funktioner på Ω och uppfyller samcykelrelationen:

r_{m+n}=r_{m}+\tau ^{m}(r_{n}),

där τ är automorfismen inducerad av T . Träfftalet N _t ( x ) för flödet S _t på X definieras som heltal N så att t ligger i [ r _N ( x ), r N _{+1 (} x ) ). Det är en heltalsvärd Borel-funktion på R × X som uppfyller samcykelidentiteten

N_{s+t}=N_{s}+\sigma _{s}(N_{t}).

Funktionen h = r ₁ är en strikt positiv Borel-funktion på Ω så formellt kan flödet rekonstrueras från transformationen T med hjälp av h en takfunktion. Den saknade T -invarianta måttklassen på Ω kommer att återvinnas med användning av den andra samcykeln Nt _. Faktum är att det diskreta måttet på Z definierar en måttklass på produkten Z × X och flödet S _t på den andra faktorn sträcker sig till ett flöde på produkten som ges av

\rho _{t}(m,x)=(m+N_{t}(x),S_{t}(x)).

På samma sätt inducerar bastransformationen T en transformation R på R × Ω definierad av

R(s,y)=(sh(y),T(y)).

Dessa transformationer är relaterade av en inverterbar Borel-isomorfism Φ från R × Ω till Z × X definierad av

\Phi (t,y)=(N_{t}(y),S_{t}(y)).

Dess inversa Ψ från Z × X till R × Ω definieras av

\Psi (m,x)=(-r_{-m}(y),S_{r_{-m}(y)}y).

överförs flödet Rt till translation med t på den första faktorn av R × Ω och, i den andra riktningen , bärs det inverterbara R _{till translation med -1 på} Z × X. Det räcker att kontrollera att måttklassen på Z × X överförs till samma måttklass som vissa producerar mått m × ν på R × Ω, där m är Lebesgue-mått och ν är ett sannolikhetsmått på Ω med måttklass invariant under T . Måttklassen på Z × X är invariant under R , så definierar en måttklass på R × Ω, invariant under translation på den första faktorn. Å andra sidan är den enda måttklassen på R invariant under översättning Lebesgue-mått, så måttklassen på R × Ω är ekvivalent med den för m × ν för något sannolikhetsmått på Ω. Genom konstruktion är ν kvasi-invariant under T . När man reder ut denna konstruktion, följer det att det ursprungliga flödet är isomorft med flödet byggt under takfunktionen h för bastransformationen T on (Ω,ν).

₀₀₀₀₀₀₀₀₀ Ovanstående resonemang gjordes med antagandet att B = A . I allmänhet A av en normsluten separerbar enhetlig *-subalgebra A innehållande B , invariant under σ _t och sådan att σ _t ( f ) är en normkontinuerlig funktion av t för valfri f i A . För att konstruera A , ta först en genereringsmängd för von Neumann-algebran A som är bildad av otaliga många projektioner invarianta under σ _t med t rationella. Ersätt var och en av denna räknebara uppsättning projektioner med medelvärden över intervall [0, N ⁻¹ ] med avseende på σ _t . Den normslutna enhetliga *-algebra som dessa genererar ger A . Per definition innehåller den B = C( Y ). Enligt Gelfand-Naimarks sats A formen C( X ). Konstruktionen med ett _r ovan gäller lika bra här: faktiskt eftersom B är en subalgebra av A är Y en kontinuerlig kvot av X , så en funktion som a _r är lika väl en funktion på X . Konstruktionen överförs därför i tillämpliga delar till A , genom kvotkartan.

Sammanfattningsvis finns det ett måttutrymme ( Y ,λ) och en ergodisk verkan av Z × R på M = L ^∞ ( Y ,λ) som ges av pendlingsåtgärder τ ⁿ och σ _t så att det finns en τ-invariant subalgebra av M isomorf till $\ell ^{\infty }$ ( Z ) och en σ-invariant subalgebra av M isomorf till L ^∞ ( R ). Det ursprungliga ergodiska flödet ges av begränsningen av σ till M ^τ och motsvarande bastransformation ges av begränsningen av τ till M ^σ .

Givet ett flöde är det möjligt att beskriva hur två olika enkelbastransformationer som kan användas för att konstruera flödet hänger ihop. omvandlas tillbaka till en verkan av Z på Y , dvs till _en inverterbar transformation TY på Y . Mängdteoretiskt definieras T _Y ( x ) som T ^m ( x ) där m ≥ 1 är det minsta heltal så att T ^m ( x ) ligger i X . Det är enkelt _att se att tillämpning av samma process på inversen av T ger inversen av TY . Konstruktionen kan beskrivas mått teoretiskt enligt följande. Låt e = χ _Y i B = L ^∞ ( X ,ν) med ν( e ) ≠ 0. Då är e en ortogonal summa av projektioner e _n som definieras enligt följande:

e_{1}=e\tau ^{-1}(e),\,\,e_{2}=e(1-\tau ^{-1}(e))\tau ^{-2 }(e),\,\,e_{3}=e(1-\tau ^{-1}(e))(1-\tau ^{-2}(e))\tau ^{-3} (e),...

Sedan om f ligger i e _n B , är motsvarande automorfism τ _e ( f ) = τ ^{n (} f ).

Med dessa definitioner uppstår två ergodiska transformationer τ ₁ , τ ₂ av B ₁ och B ₂ från samma flöde förutsatt att det finns icke-nollprojektioner e ₁ och e ₂ i B ₁ och B ₂ så att systemen (τ ₁ ) _{e ₁} , e1B1 och ( _τ2 ) _{e2 _.} , e2B2 är _isomorfa_{_}_{_} _ _{_}

Se även

Anteckningar

von Neumann, John (1932), "Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik", Annals of Mathematics (på tyska), 33 (3): 587–642, doi : 10.2307/1968537 , JSTOR 1968537
Morse, Marston (1966), Lectures on Symbolic Dynamics, 1937–1938 , Mimeographed Notes by Rufus Oldenburger, Institute for Advanced Study
Hopf, Eberhard (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. 91 : 261-304
Ambrose, Warren (1941), "Representation of ergodic flows", Ann. av matte. , 42 : 723–739, JSTOR 1969259
Ambrose, Warren; Kakutani, Shizuo (1942), "Struktur och kontinuitet i mätbara flöden", Duke Math. J. , 9 : 25–42, doi : 10.1215/s0012-7094-42-00904-9
Rohlin, VA (1966), "Utvalda ämnen från den metriska teorin om dynamiska system", Tio artiklar om funktionell analys och mätteori , American Mathematical Society Translations. Serie 2, vol. 49, American Mathematical Society , s. 171–240
Fomin, Sergei V .; Gelfand, IM (1952), "Geodesiska flöden på grenrör med konstant negativ krökning", Uspekhi Mat. Nauk , 7 (1): 118–137
Mautner, FI (1957), "Geodesiska flöden på symmetriska Riemann-rum", Ann. Matematik. , 65 (3): 416–431, doi : 10.2307/1970054 , JSTOR 1970054
Riesz, Frigyes; Sz.-Nagy, Béla (1955), Funktionsanalys , översatt av Leo F. Boron, Frederick Ungar
Moore, CC (1966), "Ergodicity of flows on homogeneous spaces", Amer. J. Math. , 88 (1): 154–178, doi : 10.2307/2373052 , JSTOR 2373052
Mackey, George W. (1966), "Ergodisk teori och virtuella grupper", Math. Ann. , 166 : 187–207, doi : 10.1007/BF01361167
Mackey, George W. (1978), "Ergodic theory", Unitary group representations in physics, probability and number theory , Mathematics Lecture Note Series, vol. 55, Benjamin/Cummings Publishing Co, s. 133–142, ISBN 0805367020
Mackey, George W. (1990), "Von Neumann and the Early Days of Ergodic Theory", i Glimm, J.; Impagliazzo, J.; Singer, I. (red.), The Legacy of John von Neumann , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 50, American Mathematical Society , s. 34~47, ISBN 9780821814871
Krengel, Ulrich (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Math. Annalen (på tyska), 176 (3): 181–190, doi : 10.1007/bf02052824 , S2CID 124603266
Kubo, Izumi (1969), "Quasi-flows", Nagoya Math. J. , 35 : 1–30, doi : 10.1017/s002776300001299x
Howe, Roger E.; Moore, Calvin C. (1979), "Asymptotic properties of unitary representations", J. Funct. Anal. , 32 : 72–96, doi : 10.1016/0022-1236(79)90078-8
Cornfeld, IP; Fomin, SV; Sinaĭ, ja. G. (1982), Ergodic theory , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 245, översatt av AB Sosinskiĭ, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90580-4
Zimmer, Robert J. (1984), Ergodic theory and semisimple groups , Monographs in Mathematics, vol. 81, Birkhäuser, ISBN 3-7643-3184-4
Bedford, Tim; Keane, Michael; Serie, Caroline, red. (1991), Ergodisk teori, symbolisk dynamik och hyperboliska utrymmen , Oxford University Press, ISBN 019853390X
Adams, Scot (2008), "Decay to zero of matrix coefficients at adjoint infinity", Grupprepresentationer, ergodisk teori och matematisk fysik: en hyllning till George W. Mackey , Contemp. Math., vol. 449, Amer. Matematik. Soc., s. 43–50
Moore, CC (2008), "Virtuella grupper 45 år senare", Grupprepresentationer, ergodisk teori och matematisk fysik: en hyllning till George W. Mackey , Contemp. Math., vol. 449, Amer. Matematik. Soc., s. 267~300
Pedersen, Gert K. (1979), C ^∗ -algebras and their automorphism groups , London Mathematical Society Monographs, vol. 14, Academic Press, ISBN 0-12-549450-5
Varadarajan, VS (1985), Geometry of quantum theory (andra upplagan), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96124-0
Takesaki, M. (2003), Theory of operator algebras, II , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 125, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X
Takesaki, M. (2003a), Theory of operator algebras, III , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 127, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42913-1
Morris, Dave Witte (2005), Ratners satser om unipotenta flöden , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press , arXiv : math/0310402 , Bibcode : 2003math.....10402W , ISBN 0-9836-05
Nadkarni, MG (2013), Basic ergodic theory , Texts and Readings in Mathematics, vol. 6 (tredje upplagan), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-43-4