Hoppsönderdelning

Inom matematiken ger Hopf -nedbrytningen , uppkallad efter Eberhard Hopf , en kanonisk nedbrytning av ett måttrum ( X , μ ) med avseende på en inverterbar icke-singular transformation T : X → X , alltså en transformation som med sin invers är mätbar och överför nolluppsättningar till nolluppsättningar. Upp till nollmängder X skrivas som en disjunkt union C ∐ D av T -invarianta mängder där verkan av T på C är konservativ och verkan av T på D är dissipativ . Således, om τ är automorfismen av A = L ∞ ( X ) inducerad av T , finns det en unik τ-invariant projektion p i A så att pA är konservativ och (I–p)A är dissipativ.

Definitioner

  • Vandrande uppsättningar och dissiperande handlingar. En mätbar delmängd W av X är vandrande om dess karakteristiska funktion q = χ W i A = L ∞ ( X ) uppfyller q τ n ( q ) = 0 för alla n ; sålunda, upp till nollmängder, är översättningarna Tn ( W ) parvis disjunkta . En åtgärd kallas dissipativ om X = ∐ T n ( W ) ae för någon vandringsmängd W .
  • Konservativa åtgärder. Om X inte har några vandrande delmängder av positivt mått, sägs handlingen vara konservativ .
  • Inkompressibla handlingar. En åtgärd sägs vara inkompressibel om närhelst en mätbar delmängd Z uppfyller T ( Z ) ⊆ Z så har Z \ TZ måttet noll. Således om q = χ Z och τ( q ) ≤ q , så är τ( q ) = q ae
  • Återkommande handlingar. En åtgärd T sägs vara återkommande om q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ... ae för valfri q = χ Y .
  • Oändligt återkommande handlingar. En åtgärd T sägs vara oändligt återkommande om q ≤ τ m ( q ) ∨ τ m + 1 ( q ) ∨ τ m +2 ( q ) ∨ ... ae för valfri q = χ Y och valfri m ≥ 1.

Återkommande teorem

Sats. Om T är en inverterbar transformation på ett måttutrymme ( X ,μ) som bevarar nollmängder, är följande villkor ekvivalenta på T (eller dess invers):

  1. T är konservativ ;
  2. T är återkommande;
  3. T är oändligt återkommande;
  4. T är inkompressibel.

Eftersom T är dissipativ om och endast om T −1 är dissipativ, följer det att T är konservativ om och endast om T −1 är konservativ.

Om T är konservativ, då är r = q ∧ (τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅) ⊥ = q ∧ τ( 1 - q ) ∧ τ q ) ∧ τ q ∧ τ 3 ( q ) ∧ ... vandrar så att om q < 1, nödvändigtvis r = 0. Därav q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∅ ⋅, så att T är återkommande.

Om T är återkommande, då q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ Antag nu genom induktion att q ≤ τ k ( q ) ∨ τ k) ∨ τ k +1 ) ⋅⋅. Sedan τ k ( q ) ≤ τ k +1 ( q ) ∨ τ k +2 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ ≤ . Därför q ≤ τ k +1 ( q ) ∨ τ k +2 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅. Så resultatet gäller för k +1 och därför är T oändligt återkommande. Omvänt per definition är en oändligt återkommande transformation återkommande.

Antag nu att T är återkommande. För att visa att T är inkompressibel måste det visas att, om τ( q ) ≤ q , så τ( q ) ≤ q . Faktum är att i detta fall är τ n ( q ) en avtagande sekvens. Men genom återfall, q ≤ τ( q ) ∨ τ 2 ( q ) ∨ τ 3 ( q ) ∨ ⋅⋅⋅ , så q ≤ τ( q ) och därmed q = τ( q ).

Anta slutligen att T är inkompressibelt. Om T inte är konservativt finns en p ≠ 0 i A med τ n ( p ) disjunkt (ortogonal). Men då q = p ⊕ τ( p ) ⊕ τ 2 ( p ) ⊕ ⋅⋅⋅ τ( q ) < q med q − τ( q ) = p ≠ 0 , vilket motsäger inkompressibilitet. Så T är konservativ.

Hoppsönderdelning

Sats. Om T är en inverterbar transformation på ett måttutrymme ( X , μ ) som bevarar nollmängder och inducerar en automorfism τ av A = L ∞ ( X ), så finns det en unik τ -invariant p = χ C i A så att τ är konservativ på pA = L ∞ ( C ) och dissipativ på (1 − p ) A = L ∞ ( D ) där D = X \ C .

Utan förlust av generalitet kan man anta att μ är ett sannolikhetsmått. Om T är konservativt finns det inget att bevisa, eftersom i så fall C = X . Annars finns det ett vandrande set W för T . Låt r = χ W och q = ⊕ τ n ( r ). Således är q τ -invariant och dissipativ. Dessutom μ ( q ) > 0. Tydligen är en ortogonal direkt summa av sådana τ -invarianta dissipativa q ′s också τ -invariant och dissipativ; och om q är τ -invariant och dissipativ och r < q är τ -invariant, då är r dissipativ. Om q 1 och q 2 därför är τ -invarianta och dissipativa, så är q 1 ∨ q 2 τ -invariant och dissipativ, eftersom q 1 ∨ q 2 = q 1 ⊕ q 2 (1 − q 1 ). Låt nu M vara det högsta av alla μ ( q ) wirh q τ -invarianta och dissipativa. Ta q n τ -invariant och dissipativ så att μ ( q n ) ökar till M . Genom att ersätta q n med q 1 ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q n , kan t antas att q n ökar till q säger. Genom kontinuitet är q τ -invariant och μ ( q ) = M . Med maximalitet p = I − q konservativ. Unikheten är tydlig eftersom ingen τ -invariant r < p är dissipativ och varje τ -invariant r < q är dissipativ.

Naturlig följd. Hopf-sönderdelningen för T sammanfaller med Hopf-sönderdelningen för T −1 .

Eftersom en transformation är dissipativ på ett måttutrymme om och endast om dess invers är dissipativ, sammanfaller de dissipativa delarna av T och T −1 . Det gör alltså de konservativa delarna.

Naturlig följd. Hopf-sönderdelningen för T sammanfaller med Hopf-nedbrytningen för T n för n > 1.

Om W är en vandrande mängd för T så är det en vandrande mängd för T n . Så den dissipativa delen av T finns i den dissipativa delen av T n . Låt σ = τ n . För att bevisa motsatsen räcker det att visa att om σ är dissipativ, så är τ dissipativ. Om inte, med hjälp av Hopf-sönderdelning, kan det antas att σ är dissipativ och τ konservativ. Antag att p är en vandrande projektion som inte är noll för σ. Då är τ a ( p ) och τ b ( p ) ortogonala för olika a och b i samma kongruensklass modulo n . Ta en uppsättning av τ a ( p ) med icke-noll produkt och maximal storlek. Alltså | S | ≤ n . Med maximalitet r vandrande för τ, en motsägelse.

Naturlig följd. Om en inverterbar transformation T verkar ergodiskt men icke-transitivt på måttutrymmet ( X , μ ) och bevarar nollmängder och B är en delmängd med μ ( B ) > 0, då komplementet till B ∪ TB ∪ T 2 B ∪ ⋅⋅ ⋅ har mått noll.

Observera att ergodicitet och icke-transitivitet antyder att verkan av T är konservativ och därför oändligt återkommande. Men då B ≤ T m ( B ) ∨ T m + 1 ( B ) ∨ T m +2 ( B ) ∨ ... för valfri m ≥ 1. Om man använder T − m , följer det att T − m ( B ) ligger i Y = B ∪ TB ∪ T 2 B ∪ ⋅⋅⋅ för varje m > 0. Genom ergodicitet μ ( X \ Y ) = 0.

Hoppnedbrytning för ett icke-singulart flöde

Låt ( X ,μ) vara ett måttutrymme och S t ett icke-snulart flöde på X som inducerar en 1-parameters grupp av automorfismer σ t av A = L ∞ ( X ). Det kommer att antas att handlingen är trogen, så att σ t är identiteten endast för t = 0. För varje S t eller ekvivalent σ t med t ≠ 0 finns en Hopf-nedbrytning, så en p t fixerad med σ t sådan att åtgärden är konservativ på p t A och dissipativ på (1− p t ) A .

  • För s , t ≠ 0 sammanfaller de konservativa och dissipativa delarna av S s och S t om s / t är rationell.
Detta följer av det faktum att för varje icke-singular inverterbar transformation sammanfaller de konservativa och dissipativa delarna av T och T n för n ≠ 0.
  • Om S 1 är dissipativ på A = L ∞ ( X ), så finns det ett invariant mått λ på A och p i A så att
  1. p > σ t ( p ) för alla t > 0
  2. λ( p – σ t ( p )) = t för alla t > 0
  3. σ t ( p ) 1 som t tenderar till −∞ och σ t ( p ) 0 som t tenderar till +∞.
Låt T = S 1 . Ta q en vandringsmängd för T så att ⊕ τ n ( q ) = 1. Om du ändrar μ till ett ekvivalent mått kan det antas att μ( q ) = 1, så att μ begränsar till ett sannolikhetsmått på qA . Om man transporterar detta mått till τ n ( q ) A , kan det vidare antas att μ är τ-invariant på A . Men då λ = ∫ 1
0 μ ∘ σ t dt ett ekvivalent σ-invariant mått på A som kan skalas om vid behov så att λ( q ) = 1. De r i A som vandrar för Τ (eller τ) med ⊕ τ n ( r ) = 1 är lätt att beskriva: de ges av r = ⊕ τ n ( q n ) där q = ⊕ q n är en nedbrytning av q . I synnerhet X( r ) =1. Dessutom om p uppfyller p > τ( p ) och τ – n ( p ) 1, då λ( p – τ( p )) = 1, applicerar resultatet på r = p – τ( p ). Samma argument visar att omvänt, om r vandrar för τ och λ( r ) = 1, så är ⊕ τ n ( r ) = 1 .
Låt Q = q ⊕ τ( q ) ⊕ τ 2 ( q ) ⊕ ⋅⋅⋅ så att τ k ( Q ) < Q för k ≥ a = ∫ ∞
0 σ t ( q ) dt = Σ k ≈ 1
0 σ k + t ( q ) dt = ∫ 1
0 σ t ( Q ) dt 1. Då så att 0 ≤ a ≤ 1 i A . Per definition σ s ( a ) ≤ a för s ≥ 0, eftersom a − σ s ( a ) = ∫
∞ s σ t ( q ) dt . Samma formler visar att σ s ( a ) tenderar 0 eller 1 som s tenderar till +∞ eller −∞. Sätt p = χ [ε,1] (a) för 0 < ε < 1. Då är σ s ( p ) = χ [ε,1] (σ s ( a )). Det följer omedelbart att σ s ( p ) ≤ p för s ≥ 0. Dessutom σ s ( p ) 0 as s tenderar till +∞ och σ s ( p ) 1 som s tenderar att − ∞. Den första gränsformeln följer eftersom 0 ≤ ε ⋅ σ s ( p ) ≤ σ s ( a ). Nu kan samma resonemang appliceras på τ −1 , σ − t , τ −1 ( q ) och 1 – ε istället för τ, σ t , q och ε. Då kontrolleras enkelt att de mängder som motsvarar a och p är 1 − a och 1 − p . Följaktligen σ − t (1− p ) 0 som t tenderar till ∞. Därför σ s ( p ) 1 som s tenderar till − ∞. Särskilt p ≠ 0 , 1.
So r = p − τ( p ) är vandrande för τ och ⊕ τ k ( r ) = 1. Därav λ( r ) = 1. Det följer att λ( p −σ s ( p ) ) ) = s för s = 1/ n och därför för alla rationella s > 0. Eftersom familjen σ s ( p ) är kontinuerlig och avtagande, gäller genom kontinuitet samma formel även för alla reella s > 0. Därför uppfyller p alla de påstådda förhållandena.
  • De konservativa och dissipativa delarna av S t för t ≠ 0 är oberoende av t .
Det föregående resultatet visar att om S t är dissipativ på X för t ≠ 0 så är det så varje S s för s ≠ 0. Genom unikhet bevarar S t och S s de dissipativa delarna av den andra. Därför är var och en dissipativ på den andras dissipativa del, så de dissipativa delarna överensstämmer. Därför håller de konservativa delarna med.

Se även

Anteckningar

  •   Aaronson, Jon (1997), An introduction to infinite ergodic theory , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 50, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0494-4
  • Hopf, Eberhard (1937), Ergodentheorie (på tyska), Springer
  • Krengel, Ulrich (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Math. Annalen (på tyska), 176 : 181−190
  •   Krengel, Ulrich (1985), Ergodic theorems , De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 6, de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3
Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hopf_decomposition&oldid=1121884524 "