Dubbel bubbelsats
I den matematiska teorin om minimala ytor anger dubbelbubblans sats att formen som omsluter och separerar två givna volymer och har minsta möjliga ytarea är en standard dubbelbubbla : tre sfäriska ytor som möts i vinklar av 120° på en gemensam cirkel. Den dubbla bubbelsatsen formulerades och troddes vara sann på 1800-talet och blev ett "allvarligt fokus för forskning" 1989, men bevisades inte förrän 2002.
Beviset kombinerar flera ingredienser. Kompaktheten hos likriktbara strömmar (en generaliserad definition av ytor) visar att det finns en lösning. Ett symmetriargument bevisar att lösningen måste vara en rotationsyta , och den kan ytterligare begränsas till att ha ett begränsat antal släta bitar. Jean Taylors bevis på Plateaus lagar beskriver hur dessa bitar måste formas och kopplas till varandra, och en slutlig fallanalys visar att bland revolutionsytor kopplade på detta sätt är det bara den vanliga dubbelbubblan som har lokalt minimal area.
Den dubbla bubbelsatsen förlänger den isoperimetriska ojämlikheten , enligt vilken minsta omkretsinneslutning av något område är en cirkel , och minsta ytarea inneslutning av någon singelvolym är en sfär . Analoga resultat på den optimala inneslutningen av två volymer generaliserar till viktade former av ytenergi, till Gaussiskt mått på ytor och till euklidiska rum av vilken dimension som helst.
Påstående
Enligt den isoperimetriska ojämlikheten är den minsta omkretsinneslutningen av något område en cirkel , och den minsta ytarea-inneslutningen av varje enskild volym är en sfär . Förekomsten av en form med avgränsad yta som omsluter två volymer är uppenbar: omslut dem bara med två separata sfärer. Det är mindre uppenbart att det måste finnas någon form som omsluter två volymer och har minsta möjliga ytarea: det kan istället vara så att en sekvens av former konvergerar till ett minimum (eller till noll) utan att nå det. Detta problem väcker också knepiga definitionsfrågor: vad menas med en form, en forms yta och volymen som den omsluter, när sådana saker kan vara ojämna eller till och med fraktala ? Ändå är det möjligt att formulera problemet med optimala kapslingar noggrant med hjälp av teorin om likriktbara strömmar, och att bevisa med kompakthet i utrymmet för likriktbara strömmar att varannan volym har en minimiarea inneslutning.
Platåns lagar säger att varje minsta yta styckevis slät form som omsluter någon volym eller uppsättning av volymer måste ha en form som vanligtvis ses i såpbubblor där ytor med konstant medelkrökning möts i tre och bildar dihedriska vinklar på 120° ( radianer ). I en vanlig dubbelbubbla möts tre fläckar av sfärer i denna vinkel längs en delad cirkel. Två av dessa sfäriska ytor bildar dubbelbubblans yttre gräns och en tredje i det inre skiljer de två volymerna från varandra. I fysiska bubblor är sfärernas radier omvänt proportionella mot tryckskillnaderna mellan volymerna de separerar, enligt Young–Laplace-ekvationen . Denna koppling mellan tryck och radie återspeglas matematiskt i det faktum att, för alla vanliga dubbelbubblor, de tre radierna , och av de tre sfäriska ytorna följer ekvationen
I det euklidiska planet , analogt, bildas den minsta omkretsen av ett kurvsystem som omsluter två givna områden av tre cirkelbågar , med samma förhållande mellan deras radier, som möts i samma vinkel på 120°. För två lika stora områden degenererar mittbågen till ett rakt linjesegment. Den tredimensionella standarddubbla bubblan kan ses som en rotationsyta av denna tvådimensionella dubbelbubbla. I vilken högre dimension som helst, bildas den optimala inneslutningen för två volymer återigen av tre fläckar av hypersfärer som möts i samma 120° vinkel.
Historia
Den tredimensionella isoperimetriska ojämlikheten , enligt vilken en sfär har minsta ytarea för sin volym, formulerades av Arkimedes men bevisades inte noggrant förrän på 1800-talet, av Hermann Schwarz . På 1800-talet Joseph Plateau dubbelbubblan, och sanningen i dubbelbubblans sats antogs utan bevis av CV Boys i 1912 års upplaga av hans bok om såpbubblor. Plateau formulerade Plateau's lagar , som beskriver formen och kopplingarna mellan släta bitar av ytor i sammansatta såpbubblor; dessa bevisades matematiskt för kapslingar med minsta volym av Jean Taylor 1976.
År 1989 hade problemet med dubbla bubblor blivit ett "allvarligt fokus för forskning". 1991 var Joel Foisy, en student vid Williams College , ledare för ett team av studenter som bevisade den tvådimensionella analogen till den dubbla bubblan. I sin grundexamensavhandling var Foisy den första som gav ett exakt uttalande av den tredimensionella dubbla bubblan, men han kunde inte bevisa det.
Ett bevis för det begränsade fallet med den dubbla bubbelförmodan, för två lika stora volymer, tillkännagavs av Joel Hass och Roger Schlafly 1995 och publicerades 2000. Beviset för den fullständiga gissningen av Hutchings , Morgan , Ritoré och Ros tillkännagavs 2000 och publicerades 2002. Efter tidigare arbete med det fyrdimensionella fallet publicerades den fullständiga generaliseringen till högre dimensioner av Reichardt 2008, och 2014 publicerade Lawlor ett alternativt bevis på att dubbelbubblesatsen generaliserade både till högre dimensioner och till viktade former av ytenergi. Variationer av problemet med hänsyn till andra mått på storleken på den omslutande ytan, såsom dess gaussiska mått , har också studerats.
Bevis
Ett lemma av Brian White visar att den minsta ytans dubbelbubbla måste vara en rotationsyta . För, om inte, skulle man kunna använda ett liknande argument som hamsandwichsatsen för att hitta två ortogonala plan som delar båda volymerna, ersätter ytor i två av de fyra kvadranterna med reflektionerna av ytorna i de andra kvadranterna och sedan jämnar ut singulariteterna vid reflektionsplanen, vilket minskar den totala ytan. Baserat på detta lemma kunde Michael Hutchings begränsa de möjliga formerna av icke-standardiserade optimala dubbla bubblor, till att bestå av lager av toroidformade rör.
Dessutom visade Hutchings att antalet toroider i en icke-standard men minimerande dubbelbubbla kunde begränsas av en funktion av de två volymerna. I synnerhet för två lika volymer består den enda möjliga icke-standardiserade dubbelbubblan av en enda central bubbla med en enda toroid runt ekvatorn. Baserat på denna förenkling av problemet kunde Joel Hass och Roger Schlafly reducera beviset för detta fall av dubbelbubblans gissning till en stor datoriserad fallanalys, som tog 20 minuter på en persondator från 1995. Det slutliga beviset för den fullständiga dubbelbubblans gissning använder också Hutchings metod för att reducera problemet till en ändlig fallanalys, men den undviker användningen av datorberäkningar, och fungerar istället genom att visa att alla möjliga icke-standardiserade dubbelbubblor är instabila: de kan vara störs av godtyckligt små mängder för att producera en annan yta med lägre area. De störningar som behövs för att bevisa detta resultat är en noggrant utvald uppsättning rotationer. Eftersom det finns en yta med minsta yta, och ingen av de andra kandidatytorna har minsta yta, kan ytan med minsta yta endast vara den vanliga dubbelbubblan.
Relaterade problem
John M. Sullivan har gissat att, för alla dimensioner , minsta inneslutningen av upp till volymer (inte nödvändigtvis lika) har formen av en stereografisk projektion av en simplex . I synnerhet i detta fall skulle alla gränser mellan bubblor vara fläckar av sfärer. Det speciella fallet med denna gissning för tre bubblor i två dimensioner har bevisats; i detta fall bildas de tre bubblorna av sex cirkulära bågar och raka linjesegment, som möts i samma kombinatoriska mönster som kanterna på en tetraeder . Frank Morgan kallade till och med fallet med tre volymer i tre dimensioner "otillgängligt", men 2022 tillkännagavs ett bevis på trevolymsfallet i alla dimensioner, och ytterligare partiella resultat i högre dimensioner. Numeriska experiment har visat att för sex eller fler volymer i tre dimensioner kan några av gränserna mellan bubblorna vara icke-sfäriska.
För ett oändligt antal lika ytor i planet är den minsta längd av kurvor som skiljer dessa områden åt den sexkantiga plattsättningen , som är bekant från dess användning av bin för att bilda bikakor , och dess optimalitet ( bikakeförmodan ) bevisades av TC Hales i 2001. För samma problem i tre dimensioner är den optimala lösningen inte känd; Lord Kelvin förmodade att den gavs av en struktur som kombinatoriskt motsvarar den bitrunkerade kubiska bikakan , men denna gissning motbevisades av upptäckten av Weaire-Phelan-strukturen, en uppdelning av rymden i celler med lika volym av två olika former med en mindre genomsnittlig mängd ytarea per cell.
Forskare har också studerat dynamiken i fysiska processer genom vilka par av bubblor smälter samman till en dubbel bubbla. Det här ämnet relaterar till ett mer allmänt ämne inom differentialgeometri om det dynamiska beteendet hos kurvor och ytor under olika processer som förändrar dem kontinuerligt. Till exempel kurvförkortande flödet en process där kurvor i planet rör sig med en hastighet som är proportionell mot deras krökning . För två oändliga regioner åtskilda av en linje, med en tredje finit region mellan dem, konvergerar det kurvförkortande flödet på deras gränser (omskalat för att bevara området för det finita området) mot en begränsande form i form av en degenererad dubbelbubbla: en vesica piscis längs linjen mellan de två obegränsade regionerna.