Diskontinuiteter av monotona funktioner

Inom det matematiska analysområdet beskriver ett välkänt teorem uppsättningen av diskontinuiteter för en monoton reellt värderad funktion av en reell variabel ; alla diskontinuiteter av en sådan (monotone) funktion är nödvändigtvis hoppdiskontinuiteter och det finns på sin höjd räkningsmässigt många av dem.

Vanligtvis förekommer denna sats i litteraturen utan namn. Det kallas Frodas teorem i några nyare verk; i sin avhandling från 1929 Alexandru Froda att resultatet tidigare var välkänt och hade lämnat ett eget elementärt bevis för bekvämlighetens skull. Tidigare arbete på diskontinuiteter hade redan diskuterats i 1875 memoarer av den franske matematikern Jean Gaston Darboux .

Definitioner

Ange gränsen från vänster med

$$f\left(x^{-}\right):=\lim _{z\ nearrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(xh)$$

och beteckna gränsen från höger med

$$f\left(x^{+}\right):=\lim _{z\searrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f (x+h).$$

Om $f\left(x^{+}\right)$ och $f\left(x^{-}\right)$ existerar och är ändliga då skillnad $f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)$ kallas hoppet av $f$ vid $x.$

Betrakta en verkligt värderad funktion $f$ av reell variabel $x$ definierad i ett område av en punkt $x.$ Om $f$ är diskontinuerlig i punkten $x$ kommer diskontinuiteten att vara en borttagbar diskontinuitet , eller en väsentlig diskontinuitet , eller en hoppdiskontinuitet (även kallad en diskontinuitet av den första snäll ). Om funktionen är kontinuerlig vid ${\displaystyle x} är$ hoppet vid $x$ noll. Dessutom, om $f$ inte är kontinuerlig vid $x,$ kan hoppet vara noll vid $x$ om $f\left(x^{+}\right)=f\left(x^{-}\right)\neq f(x).$

Exakt uttalande

Låt $f$ vara en reellt värderad monoton funktion definierad på ett intervall $I.$ Då är uppsättningen av diskontinuiteter av det första slaget som mest räknebar .

Man kan bevisa att alla diskontinuitetspunkter för en monoton verklig funktion definierad på ett intervall är hoppdiskontinuiteter och därmed, enligt vår definition, av det första slaget. Med denna anmärkning tar satsen den starkare formen:

Låt $f$ vara en monoton funktion definierad på ett intervall $I.$ Då är uppsättningen av diskontinuiteter som mest räknebar.

Bevis

$[a,b].$ med att bevisa det speciella fallet där funktionens domän är ett slutet och begränsat intervall [ Beviset för det allmänna fallet följer av detta specialfall.

Bevis när domänen är stängd och avgränsad

Två bevis för detta speciella fall ges.

Bevis 1

Låt $I:=[a,b]$ vara ett intervall och låt $f:I\to \mathbb {R}$ vara ett icke-minskande funktion (som en ökande funktion). Sedan för alla $a<x<b,$

$$f(a)~\leq ~f\left(a^{+}\right)~\leq ~f\left(x^{-}\right)~\leq ~f\left(x^{ +}\right)~\leq ~f\left(b^{-}\right)~\leq ~f(b).$$

Låt $\alpha >0$ och låt $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}$ vara $n$ punkter inuti $I$ där hoppet för $f$ är större eller lika med $\alpha$ :

$$f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{ i}^{-}\right)\geq \alpha ,\ i=1,2,\ldots ,n$$

För alla $i=1,2,\ldots ,n,$${\displaystyle f\left(x_ {i}^{+}\right)\leq f\left(x_{i+1}^{-}\right)} så att$ f $f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\geq 0.$ Consequently,

$${\begin{ aligned}{9}f(b)-f(a)&\geq f\left(x_{n}^{+}\right)-f\left(x_{1}^{-}\right)\\ &=\summa _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right ]+\summa _{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\ höger)\höger]\\&\geq \sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^ {-}\right)\right]\\&\geq n\alpha \end{aligned}}$$

och följaktligen $n\leq {\frac {f(b)-f(a)}{\alpha }}.$

Eftersom $f(b)-f(a)<\infty$ har vi att antalet punkter där hoppet är större än $\alpha$ är ändlig (möjligen till och med noll).

Definiera följande uppsättningar:

$$S_{1}:=\left\{x:x\in I,f\left( x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)\geq 1\right\},$$

$$S_{n}:=\left\{x :x\in I,{\frac {1}{n}}\leq f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)<{\frac {1} {n-1}}\right\},\ n\geq 2.$$

Varje uppsättning $S_{n}$ är ändlig eller den tomma mängden . Unionen $S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}$ innehåller alla punkter där hoppet är positivt och innehåller därför alla punkter med diskontinuitet . Eftersom varje $S_{i},\ i=1,2,\ldots$ är högst räknebar, är deras förening $S$ också högst räknebar.

Om $f$ är icke-ökande (eller minskande ) så är beviset liknande. Detta fullbordar beviset för det speciella fallet där funktionens domän är ett slutet och begränsat intervall. $\blacksquare$

Bevis 2

Så låt $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ är en monoton funktion och låt $D$ beteckna mängden av alla punkter $d\in [a,b]$ i domänen för $f$ där $f$ är diskontinuerlig (vilket nödvändigtvis är en hoppdiskontinuitet).

Eftersom $f$ har en hoppdiskontinuitet vid $d\in D,$$f\left(d^{-}\right )\neq f\left(d^{+}\right)$ så det finns något rationellt tal $y_{d}\in \mathbb {Q}$ som ligger strikt mellan ${\displaystyle f\left(d^{-}\right){\text{ och }}f\left(d^{+}\right)} (specifikt om$ f $\ displaystyle f\nearrow }$ välj sedan $y_{d}\in \mathbb {Q}$ så att $f\left(d ^{-}\right)<y_{d}<f\left(d^{+}\right)$ medan om $f\searrow$ välj sedan $y_{d} \in \mathbb {Q}$ så att $f\left(d^{-}\right)>y_{d}>f\left(d ^{+}\right)$ håller).

Det kommer nu att visas att om $d,e\in D$ är distinkta, säg med $d<e,$ så $y_{d}\neq y_{e}.$ Om $f\nearrow$ så innebär $d<e$${\ displaystil f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)} så$ att ${\displaystyle y_{d}<f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)<y_{e}.} Om å andra sidan$ f $\ displaystyle f\searrow }$ sedan $d<e$ innebär $f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e ^{-}\right)$ så att ${\displaystyle y_{d}>f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)>y_{e}.} Hur som helst$ , $y_{d}\neq y_{e}.$

Således är varje $d\in D$ associerad med ett unikt rationellt tal (sagt annorlunda, kartan $D\to \mathbb {Q}$ definierad av $d\mapsto y_{d}$ är injektiv ). Eftersom $\mathbb {Q}$ kan räknas, måste detsamma gälla för $D.$$\blackquare$

Bevis på allmänt fall

Antag att domänen för $f$ (en monoton funktion med reellt värde) är lika med en förening av otaligt många slutna och avgränsade intervall; säg att dess domän är ${\displaystyle \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]} ($ inga krav ställs på dessa slutna och avgränsade intervall) . Det följer av det ovan bevisade specialfallet att för varje index $displaystyle n,}$$f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}:\left[a_ {n},b_{n}\right]\to \mathbb {R}$ begränsningen f av $f$ till intervallet $\left[a_{n},b_{n }\right]$ har högst uträkneligt många diskontinuiteter; beteckna denna (räknebara) uppsättning diskontinuiteter med $D_{n}.$ Om $f$ har en diskontinuitet i en punkt $x_{0}\in \bigcup _{n}\left [a_{n},b_{n}\right]$ i sin domän så är antingen $x_{0}$ lika med en slutpunkt för ett av dessa intervall (det vill säga $x_{0}\in \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}$ ) eller så finns det något index $n$ så att $a_{n}<x_{0}<b_{n},$ i vilket fall $x_{ 0}$ måste vara en diskontinuitetspunkt för ${\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}} (det vill säga$ x $\displaystyle x_{0 }\in D_{n}}$ ). Således är mängden $D$ av alla punkter där $f$ är diskontinuerlig en delmängd av ${\ displaystyle \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}\cup \bigcup _{n}D_{n},} som är en räknebar$ uppsättning (eftersom det är en förening av räkningsbara mängder) så att dess delmängd $D$ också måste kunna räknas (eftersom varje delmängd av en räknebar mängd är räknebar).

I synnerhet eftersom varje intervall (inklusive öppna intervall och halvöppna/slutna intervall) av reella tal kan skrivas som en räknebar förening av slutna och avgränsade intervall, följer det att varje monoton funktion med reellt värde som definieras på ett intervall har högst räknebar många diskontinuiteter.

För att göra detta argument mer konkret, anta att domänen för $f$ är ett intervall $I$ som inte är sluten och avgränsad (och därför av Heine–Borels sats inte kompakt ). Då kan intervallet skrivas som en räknebar förening av slutna och avgränsade intervall $I_{n}$ med egenskapen att två på varandra följande intervall har en slutpunkt gemensam: $I=\cup _{n=1}^{\infty }I_{n}.$ Om $med }}a\geq -\infty }$${\displaystyle I=(a,b]{\text$${$ sedan $\displaystyle I_{1}=\left[\alpha _{1},b\right],\ I_{2}=\left[\alpha _{2},\alpha _{1}\right],\ldots ,I_{n}=\left[\alpha _{n},\alpha _{n-1}\right],\ldots }$ där $\left(\alpha _{ n}\right)_{n=1}^{\infty }$ är en strikt minskande sekvens så att $\alpha _{n}\rightarrow a.$ På liknande sätt om $I=[a,b),{\text{ med }}b\leq +\infty$ eller om $I=(a,b){\text{ med }}-\infty \leq a<b\leq \infty .$ I alla intervall $I_{n},$ finns det som mest räknebara många diskontinuitetspunkter, och eftersom en räknebar förening av högst räknebara mängder är högst räknebara, följer det att mängden av alla diskontinuiteter som mest är räknebar. $\blacksquare$

Hoppa funktioner

Exempel. Låt x ₁ < x ₂ < x ₃ < ⋅⋅⋅ vara en räknebar delmängd av det kompakta intervallet [ a , b ] och låt μ ₁ , μ ₂ , μ ₃ , ... vara en positiv sekvens med ändlig summa. Uppsättning

$f(x)=\summa _{n=1}^{\infty }\mu _{n}\ chi _{[x_{n},b]}(x)$

där χ _A betecknar den karakteristiska funktionen för ett kompakt intervall A . Då f en icke-minskande funktion på [ a , b ], som är kontinuerlig förutom hoppdiskontinuiteter vid x _n för n ≥ 1. Vid ändligt många hoppdiskontinuiteter är f en stegfunktion . Exemplen ovan är generaliserade stegfunktioner; de är mycket speciella fall av vad som kallas hoppfunktioner eller saltus-funktioner.

Mer allmänt har analysen av monotona funktioner studerats av många matematiker, utgående från Abel, Jordan och Darboux. Efter Riesz & Sz.-Nagy (1990) , att ersätta en funktion med dess negativa om nödvändigt, måste endast fallet med icke-negativa icke-minskande funktioner beaktas. Domänen [ a , b ] kan vara finit eller ha ∞ eller −∞ som slutpunkter.

Huvuduppgiften är att konstruera monotona funktioner — generaliserande stegfunktioner — med diskontinuiteter vid en given numerabel uppsättning punkter och med föreskrivna vänster- och högerdiskontinuiteter vid var och en av dessa punkter. Låt x _n ( n ≥ 1) ligga i ( a , b ) och ta λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... och μ ₁ , μ ₂ , μ ₃ , ... icke-negativ med ändlig summa och med λ _n + μ _n > 0 för varje n . Definiera

$f_{n}(x)=0\,\,$ för $\,\,x<x_{n},\,\,f_{n}(x_{n})=\lambda _{n},\,\,f_{n}(x)=\lambda _{n}+\mu _{n}\,\,$ för $\,\,x>x_{n}.$

Sedan hoppfunktionen , eller saltus-funktionen , definierad av

$f(x)=\,\,\summa _{n= 1}^{\infty }f_{n}(x)=\,\,\summa _{x_{n}\leq x}\lambda _{n}+\summa _{x_{n}<x}\ mu _{n},$

är icke-minskande på [ a , b ] och är kontinuerlig förutom hoppdiskontinuiteter vid x _n för n ≥ 1.

För att bevisa detta, notera att sup | f _n | = λ _n + μ _n , så att Σ f _n konvergerar enhetligt till f . Passerar till gränsen, det följer att

$f(x_{n})-f(x_{n}- 0)=\lambda _{n},\,\,\,f(x_{n}+0)-f(x_{n})=\mu _{n},\,\,\,$ och $\,\,f(x\pm 0)=f(x)$

om x inte är ett av x _n: en.

Omvänt, genom en differentieringssats av Lebesgue , bestäms hoppfunktionen f unikt av egenskaperna: (1) är icke-minskande och icke-positiv; (2) ha gett hoppdata vid _dess diskontinuitetspunkter xn ; (3) att uppfylla gränsvillkoret f ( a ) = 0; och (4) att ha nollderivata nästan överallt .

Bevis på att en hoppfunktion har nollderivata nästan överallt.

Egendom (4) kan kontrolleras efter Riesz & Sz.-Nagy (1990) , Rubel (1963) och Komornik (2016) . Utan förlust av generalitet kan det antas att f är en icke-negativ hoppfunktion definierad på kompakten [ a , b ], med diskontinuiteter endast i ( a , b ). Observera att en öppen mängd U av ( a , b ) kanoniskt är den disjunkta föreningen av högst uträkneligt många öppna intervall I m ; som gör att den totala längden kan beräknas ℓ( U )= Σ ℓ( I m ). Kom ihåg att en nollmängd A är en delmängd så att det för varje godtyckligt liten ε' > 0 finns en öppen U som innehåller A med ℓ( U ) < ε'. En avgörande längdegenskap är att om U och V är öppna i ( a , b ), så är ℓ( U ) + ℓ( V ) = ℓ( U ∪ V ) + ℓ( U ∩ V ). Det antyder omedelbart att föreningen av två nollmängder är noll; och att en ändlig eller räknebar mängd är noll. Proposition 1. För c > 0 och en normaliserad icke-negativ hoppfunktion f , låt U c ( f ) vara uppsättningen av punkter x så att ${f(t)-f(s) \over ts}>c$ för vissa s , t med s < x < t . Då U c ( f ) öppen och har total längd ℓ( U c ( f )) ≤ 4 c –1 ( f ( b ) – f ( a )). Observera att U c ( f ) består av punkterna x där lutningen på h är större än c nära x . Per definition U c ( f ) en öppen delmängd av ( a , b ), så kan skrivas som en disjunkt förening av högst uträkneligt många öppna intervall I k = ( a k , b k ). Låt Jk vara ett intervall med stängning i I k och ℓ( J k ) = ℓ( I k )/2. Genom kompakthet finns det ändligt många öppna intervall av formen ( s , t ) som täcker stängningen av Jk . Å andra sidan är det elementärt att om tre fasta avgränsade öppna intervall har en gemensam skärningspunkt, så innehåller deras förening ett av de tre intervallen: ta verkligen bara supremum- och infimum-punkterna för att identifiera ändpunkterna. Som ett resultat kan det ändliga locket tas som angränsande öppna intervall ( sk , 1 , t k ,1 ), ( sk , 2 , t k ,2 ), ... endast skär varandra med på varandra följande intervall. Därav $\ell (J_{k})\leq \sum _{m}(t_{k,m}-s_{k,m})\leq \sum _{m}c^{-1}(f (t_{k,m})-f(s_{k,m}))\leq 2c^{-1}(f(b_{k})-f(a_{k})).$ Summa slutligen båda sidor över k . Proposition 2. Om f är en hoppfunktion, då f '( x ) = 0 nästan överallt. För att bevisa detta, definiera $Df(x)=\limsup _{s,t\rightarrow x ,\,\,s<x<t}{f(t)-f(s) \över ts},$ en variant av Dini-derivatan av f . Det räcker med att bevisa att för varje fixerad c > 0, uppfyller Dini-derivatan D f ( x ) ≤ c nästan överallt , dvs på en nollmängd . Välj ε > 0, godtyckligt liten. Utgå från definitionen av hoppfunktionen f = Σ f n , skriv f = g + h med g = Σ n ≤ N f n och h = Σ n > N f n där N ≥ 1. Således är g en stegfunktion som har endast ändligt många diskontinuiteter vid x n för n ≤ N och h är en icke-negativ hoppfunktion. Det följer att D f = g ' + D h = D h förutom vid N- punkterna av diskontinuitet för g . Genom att välja N tillräckligt stor så att Σ n > N λ n + μ n < ε, följer det att h är en hoppfunktion så att h ( b ) − h ( a ) < ε och Dh ≤ c från en öppen mängd med längd mindre än 4ε/ c . Genom konstruktion Df ≤ c från en öppen uppsättning med längd mindre än 4ε/ c . Ställ nu ε' = 4ε/ c — då är ε' och c godtyckligt små och Df ≤ c utanför en öppen uppsättning med längder mindre än ε'. Alltså Df ≤ c nästan överallt. Eftersom c kan tas godtyckligt litet måste Df och därmed även f ' försvinna nästan överallt.

Som förklarats i Riesz & Sz.-Nagy (1990) , kan varje icke-minskande icke-negativ funktion F dekomponeras unikt som summan av en hoppfunktion f och en kontinuerlig monoton funktion g : hoppfunktionen f konstrueras genom att använda hoppdata för den ursprungliga monotona funktionen F och det är lätt att kontrollera att g = F − f är kontinuerlig och monoton.

Se även

• Kontinuerlig funktion – Matematisk funktion utan plötsliga förändringar
• Begränsad variation – Verklig funktion med ändlig total variation
• Monotone funktion

Bibliografi

•   Apostol, Tom M. (1957). Matematisk analys: en modern metod för avancerad kalkyl . Addison-Wesley . s. 162–163. MR 0087718 .
•   Boas, Ralph P., Jr. (1961). "Differentiering av hoppfunktioner" (PDF) . Colloq. Matematik . 8 :81–82. doi : 10.4064/cm-8-1-81-82 . MR 0126513 .
•   Boas, Ralph P., Jr. (1996). "22. Monotona funktioner". En primer av verkliga funktioner . Carus matematiska monografier. Vol. 13 (fjärde upplagan). MAA . s. 158–174. ISBN 9781614440130 . (prenumeration krävs)
•   Burkill, JC (1951). Lebesgue-integralen . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 40. Cambridge University Press . MR 0045196 .
•    Edgar, Gerald A. (2008). "Topologisk dimension". Mät, topologi och fraktal geometri . Grundutbildningstexter i matematik (andra upplagan). Springer-Verlag . s. 85–114. ISBN 978-0-387-74748-4 . MR 2356043 .
•   Gelbaum, Bernard R .; Olmsted, John MH (1964), "18: En monoton funktion vars diskontinuitetspunkter bildar en godtycklig räknebar (möjligen tät) uppsättning", Counterexamples in Analysis , The Mathesis Series, San Francisco, London, Amsterdam: Holden-Day, sid. 28, MR 0169961 ; omtryckt av Dover, 2003
• Hobson, Ernest W. (1907). Funktionsteorin för en verklig variabel och deras Fouriers serie . Cambridge University Press . sid. 245.
•    Komornik, Vilmos (2016). "4. Monotone funktioner". Föreläsningar om funktionsanalys och Lebesgue-integralen . Universitext. Springer-Verlag . s. 151–164. ISBN 978-1-4471-6810-2 . MR 3496354 .
•   Lipiński, JS (1961). "En enkel demonstration du théorème sur la dérivée d'une fonction de sauts" (PDF) . Colloq. Matematik. (på franska). 8 (2): 251–255. doi : 10.4064/cm-8-2-251-255 . MR 0158036 .
•    Łojasiewicz, Stanisław (1988). "1. Funktioner av begränsad variation". En introduktion till teorin om verkliga funktioner . Översatt av GH Lawden (tredje upplagan). Chichester: John Wiley & Sons . s. 10–30. ISBN 0-471-91414-2 . MR 0952856 .
•   Natanson, Isidor P. (1955), "III. Funktioner av finit variation. Stieltjes-integralen", Theory of functions of a real variabel , vol. 1, översatt av Leo F. Boron, New York: Frederick Ungar, s. 204–206, MR 0067952
•   Nicolescu, M .; Dinculeanu, N.; Marcus, S. (1971), Analizǎ Matematică (på rumänska), vol. I (4:e upplagan), Bukarest: Editura Didactică şi Pedagogică, sid. 783, MR 0352352
•   Olmsted, John MH (1959), Real Variables: An Introduction to the Theory of Functions , The Appleton-Century Mathematics Series, New York: Appleton-Century-Crofts, Exercise 29, sid. 59, MR 0117304
•    Riesz, Frigyes ; Sz.-Nagy, Béla (1990). "Saltus funktioner". Funktionsanalys . Översatt av Leo F. Boron. Dover böcker. s. 13–15. ISBN 0-486-66289-6 . MR 1068530 . Omtryck av 1955 års original.
• Saks, Stanisław (1937). "III. Funktioner av begränsad variation och Lebesgue-Stieltjes-integralen" ( PDF) . Teori om integralen . Monografi Matematyczne. Vol. VII. Översatt av LC Young. New York: GE Stechert. s. 96–98.
•   Rubel, Lee A. (1963). "Differentiering av monotona funktioner" (PDF) . Colloq. Matematik . 10 (2): 277–279. doi : 10.4064/cm-10-2-277-279 . MR 0154954 .
•   Rudin, Walter (1964), Principles of Mathematical Analysis (2:a upplagan), New York: McGraw-Hill, MR 0166310
•    von Neumann, John (1950). "IX. Monotona funktioner". Funktionella operatörer. I. Mått och integraler . Annals of Mathematics Studies. Vol. 21. Princeton University Press . s. 63–82. doi : 10.1515/9781400881895 . ISBN 9781400881895 . MR 0032011 .
• Young, William Henry; Young, Grace Chisholm (1911). "Om förekomsten av en differentialkoefficient" . Proc. London Math. Soc. 2. 9 (1): 325–335. doi : 10.1112/plms/s2-9.1.325 .