Clairauts ekvation

För annan användning, se Clairauts formel (disambiguation) .

I matematisk analys är Clairauts ekvation (eller Clairautsekvationen ) en differentialekvation av formen

$y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx }}\höger)$

där $f$ är kontinuerligt differentierbar . Det är ett speciellt fall av Lagranges differentialekvation. Den är uppkallad efter den franske matematikern Alexis Clairaut , som introducerade den 1734.

Lösning

För att lösa Clairauts ekvation särskiljer man med avseende på $x$ , vilket ger

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$

så

$\left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right] {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.$

Därför heller

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

eller

$x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.$

I det förra fallet är $C=dy/dx$ för någon konstant $C$ . Genom att ersätta detta i Clairauts ekvation får man familjen av räta linjefunktioner som ges av

$y(x)=Cx+f(C),\,$

den så kallade allmänna lösningen av Clairauts ekvation.

Det senare fallet,

$x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,$

definierar endast en lösning ${\displaystyle y(x)} ,$ den så kallade singularlösningen , vars graf är enveloppen av graferna för de allmänna lösningarna. Singularlösningen representeras vanligtvis med parametrisk notation, som $(x(p),y(p))$ , där $p =dy/dx$ .

Den parametriska beskrivningen av singularlösningen har formen

$x(t)=-f'(t),\,$

$y(t)=f(t)-tf'(t),\,$

där $t$ är en parameter.

Exempel

Följande kurvor representerar lösningarna till två Clairauts ekvationer:

• 

  $f(p)=p^{2}$
• 

  $f(p)=p^{3}$

I varje fall är de allmänna lösningarna avbildade i svart medan singularlösningen är i violett.

Förlängning

I förlängningen en första ordningens partiell differentialekvation av formen

$\displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})$

är också känd som Clairauts ekvation.

Se även

• D'Alemberts ekvation
• Krystals ekvation
• Legendre förvandling

Anteckningar

• Clairaut, Alexis Claude (1734), "Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une suree relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée." , Histoire de l'Académie royale des sciences : 196–215 .

• Kamke, E. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (på tyska), vol. 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell .

• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Clairauts ekvation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .