Krystals ekvation

Inom matematiken är Chrystals ekvation en första ordningens ickelinjär vanlig differentialekvation , uppkallad efter matematikern George Chrystal , som diskuterade den singulära lösningen av denna ekvation 1896. Ekvationen lyder som

$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+Ax{\frac {dy}{dx}}+Av+Cx^{2}=0$

där $A,\ B,\ C$ är konstanter, som vid lösning av $dy/dx$ ger

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {A}{2}}x\pm {\frac {1}{2}}(A^{2}x^{2}- 4By-4Cx^{2})^{1/2}.$

Denna ekvation är en generalisering av Clairauts ekvation eftersom den reduceras till Clairauts ekvation under vissa villkor enligt nedan.

Lösning

Introduktion av transformationen $4By=(A^{2}-4C-z^{2})x^{2}$ ger

$xz{\frac {dz}{dx}}=A^{2}+AB-4C\pm Bz-z^{2}.$

Nu är ekvationen alltså separerbar

${\frac {z\,dz}{A^{2}+AB-4C\pm Bz-z^{2}}}={\frac {dx}{x}}.$

Nämnaren på vänster sida kan faktoriseras om vi löser rötterna till ekvationen $A^{2}+AB-4C\pm Bz-z ^{2}=0$ och rötterna är $a,\ b=\pm \left[B+{\sqrt { (2A+B)^{2}-16C}}\right]/2$ alltså

${\frac {z\,dz}{(za)(zb)}}={\frac {dx}{x}}.$

Om $a\neq b$ är lösningen

$x{\frac {(za)^{a/(ab)}}{(zb )^{b/(ab)}}}=k$

där $k$ är en godtycklig konstant. Om $a=b$ , ( $(2A+B)^{2}-16C=0$ ) så är lösningen

$x(za)\exp \left[{\frac {a}{az}}\right]=k.$

När en av rötterna är noll, reduceras ekvationen till Clairauts ekvation och en parabollösning erhålls i detta fall, $A^{2}+AB-4C=0$ och lösningen är

$x(z\pm B)=k,\quad \Rightarrow \quad 4By=-ABx^{2}-(k\pm Bx)^{2}.$

Ovanstående familj av paraboler omsluts av parabeln $4By=-ABx^{2}$ , därför är denna omslutande parabel en singulär lösning .