Capellis identitet

Inom matematiken är Capellis identitet , uppkallad efter Alfredo Capelli ( 1887 ), en analog till formeln det( AB ) = det( A ) det( B ), för vissa matriser med icke-pendlande poster, relaterad till representationsteorin för Lie- algebra ${\mathfrak {gl}}_{n}$ . Den kan användas för att relatera en invariant ƒ till den invarianta Ω ƒ , där Ω är Cayleys Ω-process .

Påstående

Antag att x _ij för i , j = 1,..., n är pendlingsvariabler. Skriv E _ij för polarisationsoperatorn

$E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.$

Capelli-identiteten säger att följande differentialoperatorer, uttryckta som determinanter, är lika:

${\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&\cdots &E_{1,n-1}&E_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\E_{n- 1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\ end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix }}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.$

Båda sidor är differentialoperatorer. Determinanten till vänster har icke-pendlingsposter och utökas med alla termer som bevarar sin "vänster till höger"-ordning. En sådan determinant kallas ofta en kolumndeterminant , eftersom den kan erhållas genom att kolumnexpansionen av determinanten börjar från den första kolumnen. Det kan formellt skrivas som

$\det(A)=\summa _ {\sigma \in S_{n}}\operatörsnamn {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1),1}A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n },$

där i produkten först kommer elementen från den första kolumnen, sedan från den andra och så vidare. Determinanten längst till höger är Cayleys omegaprocess , och den till vänster är Capelli-determinanten.

Operatörerna E _ij kan skrivas i matrisform:

$E=XD^{t},$

där $E,X,D$ är matriser med elementen E _ij , x _ij , ${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}$ respektive. Om alla element i dessa matriser skulle vara kommutativa så är det helt klart $\det(E)=\det(X)\det(D^{t})$ . Capelli-identiteten visar att det trots icke-kommutativitet existerar en "kvantisering" av formeln ovan. Det enda priset för icke-kommutativiteten är en liten korrigering: $(ni)\delta _{ij}$ på vänster sida. För generiska icke-kommutativa matriser formler som

$\det(AB)=\det(A)\det(B)$

existerar inte, och själva begreppet "determinant" är inte vettigt för generiska icke-kommutativa matriser. Det är därför som Capelli-identiteten fortfarande har en del mysterium, trots många bevis som erbjuds för den. Ett mycket kort bevis verkar inte finnas. Direkt verifiering av påståendet kan ges som en övning för n = 2, men är redan lång för n = 3.

Samband med representationsteori

Betrakta följande lite mer allmänna sammanhang. Antag att $n$ och $m$ är två heltal och $x_{ij}$ för $i =1,\dots ,n,\ j=1,\dots ,m$ , vara pendlingsvariabler. Omdefiniera $E_{ij}$ med nästan samma formel:

$E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.$

med den enda skillnaden att summeringsindex $a$ sträcker sig från $1$ till $m$ . Man kan lätt se att sådana operatorer uppfyller kommuteringsrelationerna:

$[E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}.~~~~~~~~~$

Här betecknar $[a,b]$ kommutatorn $ab-ba$ . Detta är samma kommuteringsrelationer som uppfylls av matriserna $e_{ij}$ som har nollor överallt utom positionen $(i,j)$ , där 1 står. ( $e_{ij}$ kallas ibland matrisenheter ). Därför drar vi slutsatsen att överensstämmelsen $\pi :e_{ij}\mapsto E_{ij}$ definierar en representation av Lie-algebra ${\mathfrak {gl }}_{n}$ i vektorrummet för polynom av $x_{ij}$ .

Fall m = 1 och representation S ^k C ⁿ

Det är särskilt lärorikt att beakta specialfallet m = 1; i detta fall har vi x _i1 , som förkortas som x _i :

$E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.$

I synnerhet för polynomen av första graden ser man att:

$E_{ij}x_{k}=\delta _{jk}x_{i}.~~~~~~~~~~~~~~~$

Följaktligen är verkan av $E_{ij}$ begränsad till rymden av första ordningens polynom exakt densamma som verkan av matrisenheter $e_{ij}$ på vektorer i $\mathbb {C} ^{n}$ . Så, ur representationsteoretisk synvinkel, är underrummet för polynom av första graden en underrepresentation av Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}} ,$ som vi identifierade med standardrepresentationen i $\mathbb {C} ^{n}$ . Om man går vidare ser man att differentialoperatorerna $E_{ij}$ bevarar graden av polynomen, och följaktligen bildar polynomen för varje fast grad en underrepresentation av Lie-algebra ${ \mathfrak {gl}}_{n}$ . Man kan vidare se att utrymmet för homogena polynom av grad k kan identifieras med den symmetriska tensorkraften $S^{k}\mathbb {C} ^{n}$ av standardrepresentationen ${ \displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ .

Man kan också enkelt identifiera den högsta viktstrukturen för dessa representationer. Monomialen $x_{1}^{k}$ är en vektor med högsta vikt , faktiskt: $E_{ij}x_{1}^{k}=0$ för i < j . Dess högsta vikt är lika med ( k , 0, ... ,0), faktiskt: $E_{ii}x_{1}^{k}=k \delta _{i1}x_{1}^{k}$ .

Sådan representation kallas ibland bosonisk representation av ${\mathfrak {gl}}_{n}$ . Liknande formler ${\displaystyle E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}} definierar den$ s.k. fermionisk representation, här är $\psi _{i}$ anti-pendlingsvariabler. Återigen bildar polynom av k -:e graden en irreducerbar underrepresentation som är isomorf till $\Lambda ^{k}\mathbb {C} ^{n}$ dvs antisymmetrisk tensorkraft av $\mathbb {C} ^{n}$ . Högsta vikten av en sådan representation är (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0). Dessa representationer för k = 1, ..., n är grundläggande representationer av ${\mathfrak {gl}}_{n}$ .

Capelli-identitet för m = 1

Låt oss återvända till Capelli-identiteten. Man kan bevisa följande:

$\det(E+(ni)\delta _{ij})=0,\qquad n>1$

motivationen för denna jämlikhet är följande: betrakta $E_{ij}^{c}=x_{i}p_{j}$ för vissa pendlingsvariabler ${ \displaystyle x_{i},p_{j}}$ . Matrisen $E^{c}$ är av rang ett och därför är dess determinant lika med noll. Element i matris $E$ definieras av liknande formler, men dess element pendlar inte. Capelli-identiteten visar att den kommutativa identiteten: $\det(E^{c})=0$ kan bevaras för det lilla priset av att korrigera matrisen $E$ med $(ni)\delta _{ij}$ .

Låt oss också nämna att liknande identitet kan ges för det karakteristiska polynomet:

$\det(t+E+(ni)\delta _{ij })=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},~~~~$

där $t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1)$ . Den kommutativa motsvarigheten till detta är ett enkelt faktum att för rang = 1-matriser innehåller det karakteristiska polynomet endast den första och den andra koefficienten.

Betrakta ett exempel för n = 2.

${\begin{aligned}&{\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\ E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}t+x_{1}\partial _{1}+1&x_{1}\partial _{2}\\x_{ 2}\partial _{1}&t+x_{2}\partial _{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=(t+x_{1}\partial _{1}+1)( t+x_{2}\partial _{2})-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\\[6pt]&=t(t+1)+t( x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{1}\partial _{1}x_{2}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\end{aligned}}$

Använder sig av

$\partial _{1}x_{1}=x_{1}\ partiell _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}$

vi ser att detta är lika med:

${\begin{aligned}&{}\quad t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{2} x_{1}\partial _{1}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}-x_ {2}\partial _{2}\\[8pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})=t^ {[2]}+t\,\mathrm {Tr} (E).\end{aligned}}$

Den universella omslutande algebra $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ och dess centrum

En intressant egenskap hos Capelli-determinanten är att den pendlar med alla operatorer E _ij , det vill säga kommutatorn $[E_{ij} ,\det(E+(ni)\delta _{ij})]=0$ är lika med noll. Det kan generaliseras:

Betrakta alla element E _ij i valfri ring, så att de uppfyller kommuteringsrelationen ${\displaystyle [E_{ij},E_{ kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}} , (så de kan$ vara differentialoperatorer ovan, matrisenheter e _ij eller andra element) definiera element C _k som följer:

$\det(t+E+(ni)\ delta _{ij})=t^{[n]}+\summa _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}C_{k},~~~~~$

där $t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1),$

sedan:

• element C _k pendlar med alla element E _ij
• element C _k kan ges av formler som liknar det kommutativa fallet:

$C_{k}=\sum _{I=(i_ {1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}\det(E+(ki)\delta _{ij})_{II},$

dvs de är summor av huvudmolor i matrisen E , modulo Capelli-korrigeringen $+(ki)\delta _{ij}$ . Särskilt element C ₀ är Capelli-determinanten som betraktas ovan.

Dessa uttalanden hänger samman med Capelli-identiteten, vilket kommer att diskuteras nedan, och på samma sätt som det verkar inte de direkta några rader korta bevisen existera, trots enkelheten i formuleringen.

Den universella omslutande algebra

$U({\mathfrak {gl}}_{n})$

kan definieras som en algebra genererad av

E _ij

beroende av relationerna

${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-$

ensam. Propositionen ovan visar att elementen C _k tillhör mitten av $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ . Det kan visas att de faktiskt är fria generatorer av mitten av $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ . De kallas ibland Capelli-generatorer . Capelli-identiteterna för dem kommer att diskuteras nedan.

Betrakta ett exempel för n = 2.

${\begin{aligned}{}\quad {\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}&= (t+E_{11}+1)(t+E_{22})-E_{21}E_{12}\\&=t(t+1)+t(E_{11}+E_{22}) +E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}.\end{aligned}}$

Det är omedelbart att kontrollera att elementet $(E_{11}+E_{22})$ pendlar med $E_{ij}$ . (Det motsvarar ett uppenbart faktum att identitetsmatrisen pendlar med alla andra matriser). Mer lärorikt är att kontrollera kommutativiteten för det andra elementet med $E_{ij}$ . Låt oss göra det för $E_{12}$ :

$[E_{12},E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]$

${\ displaystyle =[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-[E_{12},E_{21}]E_{12}- E_{21}[E_{12},E_{12}]+[E_{12},E_{22}]}$

$=-E_{12}E_{22}+E_{11}E_{12}-(E_{11}-E_{22})E_{12}-0+E_{12}$

$=-E_{12}E_{22}+E_{22}E_{12}+E_{12} =-E_{12}+E_{12}=0.$

Vi ser att den naiva determinanten $E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}$ inte kommer att pendla med $E_{12}$ och Capellis korrigering $+E_{22}$ är avgörande för att säkerställa centraliteten.

Allmänt m och dubbla par

Låt oss återgå till det allmänna fallet:

$E_{ij}=\summa _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{ \partial x_{ja}}},$

för godtyckliga n och m . Definition av operatorer E _ij kan skrivas i matrisform: $E=XD^{t}$ , där $E$ är $n\times n$ matris med element $E_{ij}$ ; $X$ är $n\times m$ matris med elementen $x_{ij}$ ; $D$ är $n\ gånger m$ matris med element ${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}$ .

Capelli–Cauchy–Binet-identiteter

För generell m ges matris E som produkt av de två rektangulära matriserna: X och transponera till D . Om alla element i dessa matriser skulle pendla så vet man att determinanten för E kan uttryckas med den så kallade Cauchy–Binet-formeln via molor av X och D . En analog till denna formel finns också för matris E igen för samma milda pris av korrigeringen $E\rightarrow (E+(ni)\delta _{ij} )$ :

$\det( E+(ni)\delta _{ij})=\summa _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq m)}\det(X_{I })\det(D_{I}^{t})$ ,

I synnerhet (liknar det kommutativa fallet): om m < n , då $\det(E+(ni)\delta _{ij})=0$ ; om m = n återgår vi till identiteten ovan.

Låt oss också nämna att i likhet med det kommutativa fallet (se Cauchy–Binet för minderåriga ), kan man uttrycka inte bara determinanten för E , utan även dess minderåriga via minderåriga av X och D :

${\ displaystyle \det(E+(si)\delta _{ij})_{KL}=\summa _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{s}\leq m )}\det(X_{KI})\det(D_{IL}^{t})}$ ,

Här är _K = ( ki < _k2 < ... < k _s ), L = ( 1 ₁ < 1 ₂ < ... < l _s ), godtyckliga multiindex; som vanligt $M_{KL}$ en submatris av M som bildas av elementen M _{k a l b} . Var uppmärksam på att Capelli-korrigeringen nu innehåller s , inte n som i föregående formel. Observera att för s=1 försvinner korrigeringen ( s − i ) och vi får bara definitionen av E som en produkt av X och transponerar till D. Låt oss också nämna att för generiska K,L pendlar inte motsvarande minderåriga med alla element E _ij , så Capelli-identiteten existerar inte bara för centrala element.

Som en följd av denna formel och den för det karakteristiska polynomet i föregående avsnitt låt oss nämna följande:

$\det(t+E+(ni)\delta _{ij})=t^{[n]}+\summa _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k ]}\summa _{I,J}\det(X_{IJ})\det(D_{JI}^{t}),$

där $I=(1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n),$$J=(1\leq j_{1}<\cdots <j_{k}\leq n)$ . Denna formel liknar det kommutativa fallet, modula $+(ni)\delta _{ij}$ på vänster sida och t ^[n] istället för t ⁿ till höger handsidan.

Förhållande till dubbla par

Modernt intresse för dessa identiteter har stimulerats mycket av Roger Howe som ansåg dem i sin teori om reduktiva dubbla par (även känd som Howe-dualitet). För att få den första kontakten med dessa idéer, låt oss titta mer exakt på operatorerna $E_{ij}$ . Sådana operatorer bevarar graden av polynom. Låt oss titta på polynomen i grad 1: ${\displaystyle E_{ij}x_{kl}=x_{il}\delta _{jk}} ,$ vi ser att index l bevaras. Man kan se att ur representationsteoretisk synvinkel kan polynom av första graden identifieras med direkt summa av representationerna $\mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}$ , här spänns l -:te delrummet ( l=1...m ) av $x_{il}$ , i = 1, ..., n . Låt oss ge en ny titt på detta vektorutrymme:

$\mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}.$

En sådan synvinkel ger den första antydan om symmetri mellan m och n . För att fördjupa denna idé, överväg:

$E_{ij}^{\text{dual}}=\sum _{a=1}^{n}x_{ai}{\frac {\partial }{\partial x_{aj}}}.$

Dessa operatorer ges av samma formler som $E_{ij}$ modula renumeration $i\leftrightarrow j$ , därför kan vi med samma argument härleda att $E_{ij}^{\text{dual}}$ bildar en representation av Lie-algebra ${\mathfrak {gl}}_{m}$ i vektorrymden för polynom av x _ij . Innan vi går vidare kan vi nämna följande egenskap: differentialoperatorer $E_{ij}^{\text{dual}}$ pendlar med differentialoperatorer $E_{kl}$ .

Liegruppen $GL_{n}\times GL_{m}$ verkar på vektorrummet $\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}$ på ett naturligt sätt. Man kan visa att motsvarande verkan av Lie-algebra ${\mathfrak {gl}}_{n}\times {\mathfrak {gl}}_{m}$ ges av differentialen operatorerna $E_{ij}~~~~$ respektive $E_{ij}^{\text{dual}}$ . Detta förklarar kommutativiteten hos dessa operatörer.

Följande djupare egenskaper stämmer faktiskt:

• De enda differentialoperatorerna som pendlar med $E_{ij}~~~~$ är polynom i $E_{ij}^{\text{dual}}$ och vice versa.
• Nedbrytning av vektorrummet för polynom till en direkt summa av tensorprodukter av irreducerbara representationer av $GL_{n}$ och $GL_{m}$ kan ges enligt följande:

$\mathbb {C} [x_{ij}]=S(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})=\summa _{D}\rho _{n }^{D}\otimes \rho _{m}^{D'}.$

Summanerna indexeras av Young-diagrammen D , och representationerna $\rho ^{D}$ är ömsesidigt icke-isomorfa. Och diagram ${D}$ bestämmer ${D'}$ och vice versa.

• Speciellt är representationen av den stora gruppen $GL_{n}\ gånger GL_{m}$ multiplicitetsfri, det vill säga varje irreducerbar representation förekommer bara en gång.

Man kan lätt observera den starka likheten med Schur-Weyl-dualiteten .

Generaliseringar

Mycket arbete har gjorts med identiteten och dess generaliseringar. Ungefär två dussintals matematiker och fysiker bidrog till ämnet, för att nämna några: R. Howe , B. Kostant Fields-medaljör A. Okounkov A. Sokal , D. Zeilberger .

Det verkar historiskt sett att de första generaliseringarna erhölls av Herbert Westren Turnbull 1948, som fann generaliseringen för fallet med symmetriska matriser (se för moderna behandlingar).

De övriga generaliseringarna kan delas in i flera mönster. De flesta av dem är baserade på Lie algebra synvinkel. Sådana generaliseringar består av att ändra Lie-algebra ${\mathfrak {gl}}_{n}$ till enkla Lie-algebra och deras super (q) , och nuvarande versioner. Såväl som identitet kan generaliseras för olika reduktiva dubbla par . Och slutligen kan man överväga inte bara bestämningsfaktorn för matrisen E, utan dess permanenta spår av dess krafter och immananter. Låt oss nämna några fler papper; listan över referenser är fortfarande ofullständig. Man har trott under ganska lång tid att identiteten är intimt relaterad till semi-enkla Lie-algebror. Överraskande nog har en ny rent algebraisk generalisering av identiteten hittats 2008 av S. Caracciolo, A. Sportiello, AD Sokal som inte har något att göra med någon Lie-algebra.

Turnbulls identitet för symmetriska matriser

Tänk på symmetriska matriser

$X={\begin{vmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\x_{12}&x_{22}&x_{23}&\cdots &x_{2n }\\x_{13}&x_{23}&x_{33}&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1n}&x_{2n}&x_{ 3n}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial }{ \partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt] {\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{22}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}} &\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&{\frac {\partial }{ \partial x_{23}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{33}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt] \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}& {\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}$

Herbert Westren Turnbull upptäckte 1948 följande identitet:

$\det(XD+(ni)\delta _{ij})=\det(X)\det(D )$

Kombinatoriska bevis finns i tidningen, ett annat bevis och roliga generaliseringar i tidningen, se även diskussion nedan.

Howe–Umeda–Kostant–Sahi-identiteten för antisymmetriska matriser

Tänk på antisymmetriska matriser

$X={\begin{vmatrix}0&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\-x_{12}&0&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\-x_{13 }&-x_{23}&0&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-x_{1n}&-x_{2n}&-x_{3n}& \cdots &0\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13} }}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&0&{\frac {\ partiell }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{13 }}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&0&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}} &-{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &0\end{vmatrix}}.$

Sedan

$\det(XD+(ni)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).$

Caracciolo-Sportiello-Sokal-identiteten för Manin-matriser

Betrakta två matriser M och Y över någon associativ ring som uppfyller följande villkor

$[M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}~~~~~$

för vissa element Q _il . Eller ”i ord”: element i j -:te kolumnen i M pendlar med element i k -:te raden av Y om inte j = k , och i detta fall beror kommutatorn för elementen M _ik och Y _{kl endast på} i , l , men beror inte på k .

Antag att M är en Manin-matris (det enklaste exemplet är matrisen med pendlingselement).

Sedan för det kvadratiska matrisfallet

$\det(MY+Q\,\mathrm {diag} (n-1,n-2,\dots ,1,0))=\det(M)\det(Y).~~~~~ ~~$

Här är Q en matris med elementen Q _il , och diag( n − 1, n − 2, ..., 1, 0) betyder den diagonala matrisen med elementen n − 1, n − 2, ..., 1, 0 på diagonalen.

Se påstående 1.2' formel (1.15) sida 4, vårt Y är transponera till deras B .

Uppenbarligen den ursprungliga Cappelis identitet det särskilda fallet med denna identitet. Av denna identitet kan man dessutom se att man i den ursprungliga Capellis identitet kan beakta element

${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}+f_{ij}(x_{11} ,\dots ,x_{kl},\dots )$

för godtyckliga funktioner f _ij och identiteten fortfarande kommer att vara sann.

Mukhin-Tarasov-Varchenko-identiteten och Gaudinmodellen

Påstående

Betrakta matriserna X och D som i Capellis identitet, dvs med elementen $x_{ij}$ och $\partial _{ij}$ vid position ( ij ).

Låt z vara en annan formell variabel (pendling med x ). Låt A och B vara några matriser vilka element är komplexa tal.

$\det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-AX{\frac {1}{zB }}D^{t}\right)$

$={\det }_{{\text{Put all } }x{\text{ och }}z{\text{ till vänster, medan alla härledningar till höger}}}^{\text{beräknar som om alla pendlar}}$

$\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-AX{\frac {1}{zB}}D^{t}\right)$

Här förstås den första determinanten (som alltid) som kolumndeterminant för en matris med icke-kommutativa poster. Determinanten till höger beräknas som om alla element pendlar, och sätter alla x och z till vänster, medan härledningar till höger. (Ett sådant recept kallas en Wick-ordning inom kvantmekaniken ).

Gaudins kvantintegrerbara system och Talalaevs teorem

Matrisen

$L(z)=A+X{\frac {1}{zB}}D^{t}$

är en Lax-matris för Gaudins kvantintegrerbara spinnkedjesystem. D. Talalaev löste det långvariga problemet med den explicita lösningen för hela uppsättningen av kvantpendlingslagarna för Gaudin-modellen, och upptäckte följande teorem.

Överväga

$\det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-L(z)\right)=\summa _{i=0}^{n}H_{i}( z)\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}\right)^{i}.$

Sedan för alla i,j,z,w

$[H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,~~~~~~~~$

dvs H _i ( z ) genererar funktioner i z för differentialoperatorerna i x som alla pendlar. Så de tillhandahåller kvantpendlingslagar för Gaudin-modellen.

Permanenter, immananter, spår – "högre Capelli-identiteter"

Den ursprungliga Capelli-identiteten är ett uttalande om determinanter. Senare hittades analoga identiteter för permanenta ämnen , immananter och spår. Baserat på det kombinatoriska tillvägagångssättet av SG Williamson var ett av de första resultaten i denna riktning.

Turnbulls identitet för permanenter av antisymmetriska matriser

Betrakta de antisymmetriska matriserna X och D med elementen x _ij och motsvarande härledningar, som i fallet med HUKS-identiteten ovan.

Sedan

$\mathrm {perm} (X^{t}D-(ni)\delta _{ij})=\mathrm {perm} _{{\text{Sätt alla }}x{\text{ till vänster , med alla härledningar till höger}}}^{\text{Räkna som om alla pendlar}}(X^{t}D).$

Låt oss citera: "... anges utan bevis i slutet av Turnbulls papper". Författarna själva följer Turnbull – i slutet av sin artikel skriver de:

"Eftersom beviset för denna sista identitet är mycket likt beviset för Turnbulls symmetriska analog (med en liten twist), lämnar vi det som en lärorik och trevlig övning för läsaren.".

Identiteten är djupt analyserad i papper.

Vidare läsning

• Capelli, Alfredo (1887 ) , "Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation Ω auf gewöhnliche Polar-Operationen", Mathematische Annalen , Springer, 29 (3): 331–8, doi : 10.1007 /BF014477628 1202C  
•    Howe, Roger (1989), "Remarks on classical invariant theory", Transactions of the American Mathematical Society , 313 (2): 539–570, doi : 10.2307/2001418 , JSTOR 2001418 , MR 0986027
•   Hur, Roger ; Umeda, Toru (1991), "The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions", Mathematische Annalen , 290 (1): 565–619, doi : 10.1007/BF01459261 , S2CID 1208945511408945
•    Umeda, Tôru (1998), "The Capelli identities, a century after", Utvalda artiklar om harmonisk analys, grupper och invarianter , Amer. Matematik. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 183, Amer. Matematik. Soc., s. 51–78, ISBN 978-0-8218-0840-5 , MR 1615137
•    Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9 , MR 0000255