Cayleys Ω-process

Den här artikeln handlar om den matematiska processen. För den industriella OMEGA-processen, se OMEGA-processen .

I matematik är Cayleys Ω-process , introducerad av Arthur Cayley ( 1846 ), en relativt invariant differentialoperator på den allmänna linjära gruppen , som används för att konstruera invarianter av en grupphandling .

Som en partiell differentialoperator som verkar på funktioner av n ² variabler x _ij , ges omega-operatorn av determinanten

$\Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\ \vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix }}.$

För binära former f in x ₁ , y ₁ och g in x ₂ , y ₂ är Ω-operatorn ${\frac { \partial ^{2}fg}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{2}\partial y_{1}} }$ . Den r -faldiga Ω-processen Ω ^r ( f , g ) på två former f och g i variablerna x och y är då

1. Konvertera f till en form i x ₁ , y ₁ och g till en form i x ₂ , y ₂
2. Tillämpa Ω-operatorn r gånger på funktionen fg , det vill säga f gånger g i dessa fyra variabler
3. Ersätt x 1 och x ₂ , y mot _y 1 och y ₂ i _resultatet _

Resultatet av den r -faldiga Ω - processen Ω ^r ( f , g ) på de två formerna f och g kallas också den r - e transvectanten och skrivs vanligen ( f , g ) ^r .

Ansökningar

Cayleys Ω-process förekommer i Capellis identitet , som Weyl (1946) använde för att hitta generatorer för invarianter för olika klassiska grupper som verkar på naturliga polynomalgebror.

Hilbert (1890) använde Cayleys Ω-process i sitt bevis på ändlig generering av ringar av invarianter i den allmänna linjära gruppen. Hans användning av Ω-processen ger en explicit formel för Reynolds-operatorn för den speciella linjära gruppen.

Cayleys Ω-process används för att definiera transvectanter .

• Cayley, Arthur (1846), "On linear transformations" , Cambridge och Dublin Mathematical Journal , 1 : 104–122 Reprinted in Cayley (1889), The collected matematical papers , vol. 1, Cambridge: Cambridge University press, s. 95–112
•    Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503 , ISSN 0025-5831 , S2CID 71317777179
•     Howe, Roger (1989), "Remarks on classical invariant theory.", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 313 (2): 539–570, doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X . ISSN 0002-9947 , JSTOR 2001418 , MR 0986027
•   Olver, Peter J. (1999), Klassisk invariant teori , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55821-1
•    Sturmfels, Bernd (1993), Algorithms in invariant theory , Texts and Monographs in Symbolic Computation, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-211-82445-0 , MR 1255980
•    Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9 , MR 0000255 , hämtad 26 mars 2007