Manin matris

Inom matematiken är Manin-matriser , uppkallade efter Yuri Manin som introducerade dem runt 1987–88, en klass av matriser med element i en inte nödvändigtvis kommutativ ring , som i en viss mening beter sig som matriser vars element pendlar. I synnerhet finns det en naturlig definition av determinanten för dem och de flesta linjära algebrasatser som Cramers regel , Cayley–Hamiltons teorem, etc. gäller för dem. Vilken matris som helst med pendlingselement är en Manin-matris. Dessa matriser har tillämpningar inom representationsteori , särskilt för Capellis identitet , Yangianska och kvantintegrerbara system .

Maninmatriser är speciella exempel på Manins allmänna konstruktion av "icke-kommutativa symmetrier" som kan appliceras på vilken algebra som helst. Ur denna synvinkel är de "icke-kommutativa endomorfismer" av polynomalgebra C [ x ₁ , ... x _n ]. Om man tar (q)-(super)-pendlingsvariabler får man (q)-(super)-analoger av Manin-matriser, som är nära besläktade med kvantgrupper. Manins verk påverkades av kvantgruppsteorin . Han upptäckte att kvantiserad algebra av funktioner Fun _q (GL) kan definieras av kravet att T och T ^t samtidigt är q-Manin-matriser. I den meningen bör det betonas att (q)-Manin-matriser endast definieras av hälften av relationerna för den besläktade kvantgruppen Fun _q (GL) , och dessa relationer räcker för många linjära algebrasatser.

Definition

Sammanhang

Matriser med generiska icke-kommutativa element tillåter inte en naturlig konstruktion av determinanten med värden i en jordring och grundläggande satser för den linjära algebra stämmer inte. Det finns flera modifikationer av determinantteorin: Dieudonné determinant som tar värden i abelianiseringen K ^* /[ K ^* , K ^* ] av den multiplikativa gruppen K ^* av jordringen K ; och teori om kvasideterminanter . Men analogin mellan dessa determinanter och kommutativa determinanter är inte fullständig. Å andra sidan, om man betraktar vissa specifika klasser av matriser med icke-kommutativa element, så finns det exempel där man kan definiera determinanten och bevisa linjära algebrasatser som är mycket lika deras kommutativa analoger. Exempel inkluderar: kvantgrupper och q-determinant; Capelli-matris och Capelli-determinant ; supermatriser och Berezinian .

Maninmatriser är en allmän och naturlig klass av matriser med inte nödvändigtvis kommutativa element som tillåter naturlig definition av determinanten och generaliseringar av de linjära algebrasatserna.

Formell definition

En n för m matris M med poster M _ij över en ring R (inte nödvändigtvis kommutativ) är en Manin-matris om alla element i en given kolumn pendlar och om för alla i , j , k , l gäller att [ M _ij , M _kl ] = [ M _kj , M _il ]. Här betecknar [ a , b ] ( ab − ba ) kommutatorn för a och b .

Definitionen kan bättre ses från följande formler. En rektangulär matris M kallas en Manin-matris om för någon 2×2 submatris, bestående av raderna i och k , och kolumnerna j och l :

${\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots} &M_{dots} &M_{ }&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{kj}&\cdots &M_{kl}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ cdots &\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &a&\cdots &b&\cdots \\\cdots &\cdots &\ cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &c&\cdots &d&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}$

följande kommuteringsrelationer gäller

$ac=ca,~~~bd=db,~~~{\text{(poster i samma kolumn pendlar) } }$

$ad-da=cb-bc,~~~{\text{(korskommuteringsrelation)}}.$

Ubiquity av 2 × 2 Manin-matriser

Nedan presenteras några exempel på hur Manin-egendomen ser ut i olika mycket enkla och naturliga frågor som rör 2×2-matriser. Den allmänna idén är följande: överväg välkända fakta om linjär algebra och se hur man kan slappna av kommutativitetsantagandet för matriselement så att resultaten bevaras som sanna. Svaret är: om och endast om M är en maninmatris. Bevisen för alla observationer är direkt 1-radskontroll.

Betrakta en 2×2 matris $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

Observation 1. Samverkan på ett plan. Betrakta polynomringen C [ x ₁ , x ₂ ] och antag att matriselementen a , b , c , d pendlar med x ₁ , x ₂ . Definiera y ₁ , y ₂ med

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{ 1}\\x_{2}\end{pmatrix}}.$

Sedan pendlar y ₁ , y ₂ sinsemellan om och endast om M är en Manin-matris.

Bevis:

$[y_{1},y_{2}]=[ax_{1}+bx_{2},cx_{1}+dx_{2}]=[a,c]x_{1}^{2} +[b,d]x_{2}^{2}+([a,d]+[b,c])x_{1}x_{2}.$

Om vi ​​kräver att detta är noll får vi Manins relationer.

Observation 2. Samverkan på ett superplan. Betrakta Grassmann-algebra C [ ψ ₁ , ψ ₂ ] och antag att matriselementen a , b , c , d pendlar med ψ ₁ , ψ ₂ . Definiera φ ₁ , φ ₂ med

${\begin{pmatrix}\phi _{1},~\phi _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{1},~\psi _{2} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

Då är φ ₁ , φ ₂ Grassmann-variabler (dvs. antipendling sinsemellan och φ _i ² =0) om och endast om M är en Manin-matris.

Observationerna 1,2 gäller för allmänna n × m Manin-matriser. De visar ursprungliga Manins tillvägagångssätt som beskrivs nedan (man bör tänka på vanliga matriser som homomorfismer av polynomringar, medan Manin-matriser är mer allmänna "icke-kommutativa homomorfismer"). Var uppmärksam på att polynomalgebrageneratorer presenteras som kolumnvektorer, medan Grassmann algebra som radvektorer, samma kan generaliseras till godtyckliga par av Koszul dubbla algebror och associerade allmänna Manin-matriser.

Observation 3. Cramers regel . Den inversa matrisen ges av standardformeln

$M^{-1}={\frac {1}{ad-cb}}{\begin{pmatrix}d&-b\ \-c&a\end{pmatrix}}$

om och endast om M är en maninmatris.

Bevis:

${\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}da-bc&db-bd \\-ca+ac&-cb+ad\end{pmatrix}}={\text{om och endast om }}M{\text{ är en maninmatris}}={\begin{pmatrix}ad-cb&0\\ 0&ad-cb\end{pmatrix}}.$

Observation 4. Cayley–Hamiltons sats . Jämlikheten

$M^{2}-(a+d)M+(ad-cb)1_{2\times 2}= 0$

håller om och endast om M är en Manin-matris.

Observation 5. Multiplikativitet av determinanter.

det ^kolumn ( MN ) = det ^kolumn ( M )det( N ) gäller för alla komplexvärdade matriser N om och endast om M är en Manin-matris.

Där det ^kolumn av 2×2 matris definieras som ad − cb , dvs element från första kolumnen ( a , c ) står först i produkterna.

Begreppsmässig definition. Begreppet "icke-kommutativa symmetrier"

Enligt Yu. Manins ideologi kan man associera till vilken algebra som helst viss bialgebra av dess "icke-kommutativa symmetrier (dvs endomorfismer)". Mer allmänt till ett par av algebror A , B kan man associera dess algebra av "icke-kommutativa homomorfismer" mellan A och B . Dessa idéer är naturligt relaterade till idéer om icke-kommutativ geometri . Maninmatriser som betraktas här är exempel på denna allmänna konstruktion som tillämpas på polynomalgebror C [ x ₁ , ... x _n ].

Geometrins sfär avser rymden, medan algebras sfär respektive algebras, bron mellan de två sfärerna är association till varje rum en algebra av funktioner på det, vilket är kommutativ algebra. Många begrepp inom geometri kan återskapas på algebrans språk och vice versa.

Idén om symmetri G av rymden V kan ses som verkan av G på V , dvs förekomsten av en karta G× V -> V . Denna idé kan i det algebraiska språket översättas som existensen av homomorfism Fun(G) $\otimes$ Fun(V) <- Fun(V) (som vanligtvis kartor mellan funktioner och mellanslag går i motsatta riktningar). Även kartor från ett utrymme till sig självt kan komponeras (de bildar en halvgrupp), därför är ett dubbelobjekt Fun(G) en bialgebra .

Slutligen kan man ta dessa två egenskaper som grundläggande och ge en rent algebraisk definition av "symmetri" som kan tillämpas på en godtycklig algebra (icke-nödvändigtvis kommutativ):

Definition. Algebra av icke-kommutativa symmetrier (endomorfismer) av viss algebra A är en bialgebra End(A) , så att det finns homomorfier som kallas koaktion :

$coaction:~~End(A)\otimes A\leftarrow A,$

vilket är förenligt med en comultiplication på ett naturligt sätt. Slutligen krävs End(A) för att endast uppfylla de relationer som kommer från ovanstående, inga andra relationer, dvs det är universell samverkande bialgebra för A .

Samverkan bör ses som dubbel till handling G× V -> V , det är därför det kallas coaction . Kompatibiliteten för comultiplication-kartan med koaktionskartan är dubbel till g (hv) = (gh) v . Man kan enkelt skriva denna kompatibilitet.

Något överraskande faktum är att denna konstruktion tillämpad på polynomalgebra C [ x ₁ , ..., x _n ] inte ger den vanliga algebra för matriser Mat _n (närmare bestämt algebra för funktion på den), utan mycket större icke-kommutativ algebra för Manin-matriser (mer exakt algebra genererad av elementen M _ij . Mer exakt gäller följande enkla propositioner.

Proposition . Betrakta polynomalgebra Pol = C [ x ₁ , ..., x _n ] och matris M med element i någon algebra EndPol . Elementen $y_{i}=\summa _{k}M_{ik}\otimes x_{k}\in EndPol\otimes Pol$ pendlar sinsemellan om och endast om M är en Manin-matris.

Naturlig följd. Kartan ${\displaystyle x_{i}\mapsto y_{i}=\summa _{k}M_{ik}\otimes x_{k}} är homomorfism$ från Pol till EndPol $\otimes$ Pol . Det definierar samverkan.

För att säkerställa att kartan är homomorfism är det enda vi behöver kontrollera att y _i pendlar sinsemellan.

Proposition . Definiera comultiplication map med formeln $\Delta (M_{ij})=\summa _{l}M_{il}\otimes M_{lj }$ . Då är det koassociativt och är kompatibelt med koaktion på polynomalgebra som definierats i föregående proposition.

De två propositionerna ovan antyder att algebra som genereras av element i en Manin-matris är en bialgebra som samverkar på polynomalgebra. Om man inte inför andra relationer får man algebra av icke-kommutativa endomorfismer av polynomalgebra.

Egenskaper

Elementära exempel och egenskaper

• Vilken matris som helst med pendlingselement är en Manin-matris.
• Varje matris vars element från olika rader pendlar sinsemellan (sådana matriser som ibland kallas Cartier - Foata -matriser) är en Manin-matris.
• Vilken delmatris som helst av en Manin-matris är en Manin-matris.
• Man kan byta ut rader och kolumner i en Manin-matris, resultatet blir också en Manin-matris. Man kan lägga till rad eller kolumn multiplicerad med det centrala elementet till en annan rad eller kolumn och resultatet blir Manin-matris igen. Dvs man kan göra elementära transformationer med begränsning att multiplikatorn är central.
• Betrakta två Manin-matriser M , N så att deras alla element pendlar, då kommer summan M+N och produkten MN också att vara Manin-matriser.
• Om matris M och samtidigt transponera matris M ^t är Manin-matriser, så pendlar alla element i M med varandra.
• No-go fakta: Mk ^; är inte en Manin-matris i allmänhet (förutom k =-1 diskuteras nedan) varken det( M ) eller Tr( M ) är centrala i den algebra som genereras av M _ij i allmänhet (i det avseendet skiljer sig maninmatriser från kvantgrupper); det( eM ⁾ ) ≠ e ^{Tr M ;} ( log(det( M )) ≠ Tr(log( M )).
• Betrakta polynomalgebra C [ x _ij ] och beteckna med $\partial _{ij}$ differentieringsoperatorerna med avseende på

x _ij , bildar matriserna X, D med motsvarande element. Tänk också på variabel z och motsvarande differentialoperator $\partial _{z}$ . Följande ger ett exempel på en Manin-matris som är viktig för Capelli-identiteter :

${\begin{pmatrix}zId&D^{t}\\X&\partial _{z}Id\end{pmatrix}}.$

Man kan ersätta X , D med valfri matris vars element uppfyller relationen: X _ij D _kl - D _kl X _ij = δ _ik δ _kl , samma om z och dess derivata.

Att beräkna determinanten för denna matris på två sätt: direkt och via Schur-komplementformel ger i huvudsak Capellis identitet och dess generalisering (se avsnitt 4.3.1, baserat på).

Determinant = kolumn-determinant

Determinanten för en Manin-matris kan definieras av standardformeln, med ordinationen att element från de första kolumnerna kommer först i produkten.

Linjära algebrasatser

Många linjära algebrasatser gäller för Manin-matriser även när R inte är kommutativ. I synnerhet determinanten definieras på standardsätt med hjälp av permutationer och den uppfyller en Cramers regel . MacMahon Master-satsen gäller för Manin-matriser och faktiskt för deras generaliseringar (super), (q), etc. analoger.

Förslag. Cramers regel (Se eller avsnitt 4.1.) Inversen till en Manin-matris M kan definieras av standardformeln: ${\displaystyle M^{-1} ={\frac {1}{{\det }^{col}(M)}}M^{adj},} där M$ adj ^är adjugatmatris som ges av standardformeln - dess (i,j)-te element är kolumndeterminanten för (n − 1) × (n − 1) matrisen som resulterar från radering av rad j och kolumn i i M och multiplikation med (-1) ^i+j .

Den enda skillnaden med kommutativt kasus är att man bör vara uppmärksam på att alla determinanter beräknas som kolumndeterminanter och även adjugerat matris står till höger, medan kommutativ invers till determinanten av M står till vänster, dvs. på grund av icke - kommutativitet ordning är viktig.

Förslag. Invers är också Manin. (Se avsnitt 4.3.) Antag att det finns en dubbelsidig invers till en Manin-matris M , då kommer det också att vara en Manin-matris. Dessutom, det(M ⁻¹ ) = (det(M)) ⁻¹ .

Denna proposition är något icke-trivial, den antyder resultatet av Enriquez-Rubtsov och Babelon-Talon i teorin om kvantintegrerbara system (se avsnitt 4.2.1).

Förslag. Cayley–Hamiltons teorem (se avsnitt 7.1.)

$det^{kolumn}(tM)|_{t=M}^{höger~ersätta}=0,~ ~ie~~\summa _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}M^{ni}=0.$

Där σ _i är koefficienter för det karakteristiska polynomet $det^{column }(tM)=\summa _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{ni}$ .

Förslag. Newton identiteter (Se avsnitt 7.2.1.) $\forall k \geq 0:-(-1)^{k}k\sigma _{k}=\summa _{i=0...k-1}\sigma _{i}Tr(M^{ki})$

Där σ _i är koefficienter för det karakteristiska polynomet ${\displaystyle det^{column }(tM)=\summa _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{ni}} , och enligt konventionen σ i =0$ , för _i > n där n är storleken på matrisen M .

Förslag. Determinant via Schur-komplement (Se avsnitt 5.2.) Antag att blockmatrisen nedan är en Manin-matris och att tvåsidiga inverser M ⁻¹ , A ⁻¹ , D ⁻¹ existerar, då

$det^{column}{\begin{pmatrix}A&B\\C&d\\\end{pmatrix}}=det^{column}(A)det^{column}(D-CA^{-1}B )=det^{kolumn}(D)det^{kolumn}(A-BD^{-1}C).$

Dessutom kompletterar Schur $(D-CA^{-1}B),(A-BD^{-1}C)$ är maninmatriser.

Förslag. MacMahon Master theorem

Exempel och tillämpningar

Capelli-matris som Manin-matris och centrum av U(gl _n )

Capelli -identiteten från 1800-talet ger ett av de första exemplen på determinanter för matriser med icke-pendlande element. Maninmatriser ger ett nytt utseende på detta klassiska ämne. Det här exemplet är relaterat till Lie-algebra gl _n och fungerar som en prototyp för mer komplicerade applikationer för loop Lie-algebra för gl _n , yangiska och integrerbara system.

Ta E _ij vara matriser med 1 i position ( i,j ) och nollor överallt annars. Bilda en matris E med elementen E _ij i position ( i,j ). Det är matris med element i ring av matriser Mat _n . Det är inte maninmatris men det finns modifieringar som omvandlar den till maninmatris enligt beskrivningen nedan.

Introducera en formell variabel z som pendlar med Eij _, respektive d/dz är operator för differentiering i z . Det enda som kommer att användas den kommutatorn för dessa operatorer är lika med 1.

Observation. Matrisen $d/dzId-E/z$ är en Manin-matris.

Här är Id identitetsmatris.

2 × 2 exempel: $M={\begin{pmatrix}d/dz-E_{11}/z&-E_{12}/z\\-E_{21}/z&d/z-E_{22}/z\end{pmatrix }}.$

Det är lärorikt att kontrollera kolumnkommutativitetskravet: $[d/dz-E_{11}/z,-E_{21}/z]=[d/dz,-E_{21 }/z]+[-E_{11}/z,-E_{21}/z]=E_{21}/z^{2}-E_{21}/z^{2}=0$ .

Observation. Matrisen $exp(-d/dz)(Id+E/z)$ är en maninmatris.

Det enda faktum som krävs från E _ij för dessa observationer är att de uppfyller kommuteringsrelationer [ E _ij , E _kl ]= δ _jk E _il -δ _li E _kj . Så observationer gäller om E _ij är generatorer av den universella omslutande algebra av Lie algebra gl _n , eller dess bilder i någon representation. Till exempel kan man ta

$E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}};~~~~~E_{ij}=\summa _{a=1}^{n }x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}};~~~~E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _ {j}}}.$

Här är ψ Grassmann-variabler .

Observation. $z^{n-1}det^{col}(d/dz-E/z)=det^{col}(zd/dz-E-diag(n-1, n-2,...,1,0))$

På den högra sidan av denna likhet känner man igen Capelli-determinanten (eller mer exakt det Capelli-karaktäristiska polynomet), medan man på vänster sida har en Manin-matris med dess naturliga determinant. Så Manin-matriser ger ett nytt utseende på Capellis determinant. Dessutom kan Capelli-identitet och dess generalisering härledas genom tekniker för Manin-matriser. Det ger också ett enkelt sätt att bevisa att detta uttryck tillhör centrum för den universella omslutande algebra U(gl _n ), vilket är långt ifrån trivialt. Det räcker faktiskt att kontrollera invarians med avseende på verkan av gruppen GL _n genom konjugering. $det^{col}( d/dz-gEg^{-1}/z)=det^{col}(g(d/dz-E/z)g^{-1})=det(g)det^{col}(d/ dz-E/z)det(g^{-1})=det^{col}(d/dz-E/z)$ . Så den enda egenskapen som används här är att $det(gM)=det(Mg)=det (M)det(g)$ vilket är sant för vilken maninmatris M som helst och vilken som helst matris g med centrala (t.ex. skalära) element.

Yangian typ matriser som Manin matriser

Observation. Låt T(z) vara en genererande matris för Yangian för gl _n . Då är matrisen exp(-d/dz) T(z) en Manin-matris.

Kvantdeterminanten för Yangian kan definieras som exp (nd/dz) det ^kolumn (exp(-d/dz) T(z)) . Var uppmärksam på att exp(-d/dz) kan avbrytas, så att uttrycket inte beror på det. Så determinanten i Yangiansk teori har naturlig tolkning via Manin-matriser.

För kvantintegrerbara systems skull är det viktigt att konstruera kommutativa subalgebra på Yangian. Det är välkänt att i de klassiska gränsuttrycken Tr(T ^k (z)) Poisson-kommutativ subalgebra. Den korrekta kvantiseringen av dessa uttryck har först föreslagits genom användningen av Newton-identiteter för Manin-matriser:

Förslag. Koefficienter för Tr(T(z+k-1)T(z+k-2)...T(z)) för alla k pendlar sinsemellan. De genererar kommutativ subalgebra på Yangian. Samma subalgebra som koefficienter för det karakteristiska polynomet det ^kolumnen (1-exp(-d/dz) T(z)) .

(Subalgebra kallas ibland Bethe subalgebra, eftersom Bethe ansatz är en metod för att hitta sina gemensamma eigpar.)

Fler frågor

Historia

Manin föreslog generell konstruktion av "icke-kommutativa symmetrier" i, det speciella fallet som kallas Manin-matriser diskuteras i, där några grundläggande egenskaper beskrevs. Den huvudsakliga motivationen för dessa arbeten var att ge en ny titt på kvantgrupper. Kvantmatriser Fun _q ( GL _n ) kan definieras som sådana matriser att T och samtidigt T ^t är q-Manin-matriser (dvs. är icke-kommutativa symmetrier av q-pendlande polynom x _i x _j = qx _j x _i . Efter ursprungliga Manins verk fanns det bara ett fåtal artiklar om Manin-matriser fram till 2003. Men runt och några efter detta datum dök Manin-matriser upp i flera inte riktigt relaterade områden: erhöll en viss icke-kommutativ generalisering av MacMahons masteridentitet, som användes i knutteorin, tillämpningar till kvantum. integrerbara system, Lie-algebror har hittats i; generaliseringar av Capelli-identiteten som involverar Manin-matriser förekom i. Riktningar som föreslås i dessa artiklar har vidareutvecklats.

•    V. Rubtsov; D. Talalaev; A. Silantiev (2009). "Maninmatriser, kvantelliptiska kommutativa familjer och karakteristiskt polynom för elliptisk Gaudinmodell". SIGMA . 5 : 110. arXiv : 0908.4064 . Bibcode : 2009SIGMA...5..110R . doi : 10.3842/SIGMA.2009.110 . S2CID 15639061 . Zbl 1190.37079 .
•   Suemi Rodriguez-Romo, Earl Taft (2002). "Några kvantliknande Hopf-algebror som förblir icke-kommutativa när q = 1". Lett. Matematik. Phys . 61 : 41–50. doi : 10.1023/A:1020221319846 . S2CID 115931689 . {{ citera journal }} : CS1 underhåll: använder författarens parameter ( länk )
• Suemi Rodriguez-Romo, Earl Taft (2005). "En vänster kvantgrupp" . J. Algebra . 286 : 154–160. doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.01.002 . {{ citera journal }} : CS1 underhåll: använder författarens parameter ( länk )
•   S. Wang (1998). "Kvantsymmetrigrupper av ändliga utrymmen". Comm. Matematik. Phys . 195 (1): 195–211. arXiv : math/9807091 . Bibcode : 1998CMaPh.195..195W . doi : 10.1007/s002200050385 . S2CID 14688083 . {{ citera journal }} : CS1 underhåll: använder författarens parameter ( länk )
• Teodor Banica, Julien Bichon, Benoit Collins (2007). "Icke-kommutativ harmonisk analys med tillämpningar på sannolikhet". Kvantpermutationsgrupper: en undersökning . Banach Center Publ . Vol. 78. Warszawa. s. 13–34. arXiv : math/0612724 . Bibcode : 2006math.....12724B . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: använder författarens parameter ( länk )
• Matjaz Konvalinka (2007). "En generalisering av Foatas grundläggande transformation och dess tillämpningar på den högra kvantalgebra". arXiv : math/0703203 . Bibcode : 2007math......3203K . {{ citera tidskrift }} : Citera tidskrift kräver |journal= ( hjälp ) CS1 underhåll: använder författarens parameter ( länk )
•    Konvalinka, Matjaž (2007). "Icke-kommutativ Sylvesters determinanta identitet" . Elektron. J. Combin . 14 (1). #R42. arXiv : math/0703213 . Bibcode : 2007math......3213K . doi : 10.37236/960 . ISSN 1077-8926 . S2CID 544799 .