Burnsides teorem

William Burnside.

Inom matematiken säger Burnsides sats i gruppteori att om G är en ändlig grupp av ordningen $\displaystyle p^{a}q^{b}}$ { där p och q är primtal och a och b är icke -negativa heltal , då är G lösbar . Därför har varje icke-abelsk ändlig enkel grupp en ordning som är delbar med minst tre distinkta primtal.

Historia

Teoremet bevisades av William Burnside ( 1904 ) med hjälp av representationsteorin för ändliga grupper . Flera specialfall av satsen hade tidigare bevisats av Burnside, Jordan och Frobenius. ^{[ när? ]} John Thompson påpekade att ett bevis som undviker användningen av representationsteori kunde extraheras från hans arbete med N-gruppssatsen, och detta gjordes uttryckligen av Goldschmidt (1970) för grupper av udda ordning, och av Bender (1972) för grupper av jämn ordning. Matsuyama (1973) förenklade bevisen.

Bevis

Följande bevis – med mer bakgrund än Burnsides – är motsägelsefullt . Låt p ^a q ^b vara den minsta produkten av två primpotenser, så att det finns en olöslig grupp G vars ordning är lika med detta tal.

G är en enkel grupp med trivialt centrum och a är inte noll.

Om G hade en icke-trivial egentlig normal undergrupp H , så (på grund av minimaliteten hos G ), skulle H och G / H vara lösbara, så G också, vilket skulle motsäga vårt antagande. Så G är enkelt.

Om a var noll, skulle G vara en finit q-grupp , alltså nilpotent , och därför lösbar.

På samma sätt kan G inte vara abelsk, annars skulle det vara lösbart. Eftersom G är enkel måste dess centrum därför vara trivialt.

Det finns ett element g i G som har q ^d- konjugat , för vissa d > 0.

Genom det första påståendet i Sylows sats har G en undergrupp S av ordningen p ^a . Eftersom S är en icke-trivial p -grupp, är dess centrum Z ( S ) icke-trivial. Fixa ett icke-trivialt element $g\in Z(S)$ . Antalet konjugat av g qb ^är lika med indexet för dess stabilisatorundergrupp G _g , som delar indexet för S (eftersom S är en undergrupp av G _g ). Därför är detta tal av formen q ^d . Dessutom är heltal d strikt positivt, eftersom g är icke-trivialt och därför inte centralt i G .

Det finns en icke-trivial irreducerbar representation ρ med tecknet χ, så att dess dimension n inte är delbar med q och det komplexa talet χ ( g ) inte är noll.

Låt ( χ _i ) _{1 ≤ i ≤ h} vara familjen av irreducerbara tecken i G över $\mathbb {C}$ (här betecknar χ ₁ det triviala tecknet). Eftersom g inte är i samma konjugationsklass som 1, ger ortogonalitetsrelationen för kolumnerna i gruppens teckentabell :

0=\summa _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=1+\summa _{i=2}^{h} \chi _{i}(1)\chi _{i}(g).

Nu är χ _i ( g ) algebraiska heltal , eftersom de är summor av enhetsrötter . Om alla icke-triviala irreducerbara tecken som inte försvinner vid g tar ett värde som är delbart med q vid 1, härleder vi att

-{\frac {1}{q}}=\summa _{i\geq 2, ~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1)}{q}}\chi _{i}(g)

är ett algebraiskt heltal (eftersom det är en summa av heltalsmultiplar av algebraiska heltal), vilket är absurt. Detta bevisar påståendet.

Det komplexa talet q ^d χ ( g )/ n är ett algebraiskt heltal.

Uppsättningen av heltalsvärdade klassfunktioner på G , Z ( $\mathbb {Z}$ [ G ]), är en kommutativ ring , ändligt genererad över $\mathbb {Z}$ . Alla dess element är alltså integral över $\mathbb {Z}$ , särskilt mappningen u som tar värdet 1 på konjugationsklassen av g och 0 någon annanstans.

Mappningen $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatörsnamn {End} (\mathbb {C} ^{n })$ som skickar en klassfunktion f till

\sum _{s\in G}f(s)\rho (s)

är en ringhomomorfism. Eftersom ρ ( s ) ⁻¹ A ( u ) ρ ( s ) = A ( u ) för alla s , innebär Schurs lemma att A ( u ) är en homotet λI _n . Dess spår nλ är lika med

\sum _{s\in G}f(s)\chi (s)=q^{d}\chi (g).

Eftersom homoteten λI _n är den homomorfa bilden av ett integralelement, bevisar detta att det komplexa talet λ = q ^d χ ( g )/ n är ett algebraiskt heltal.

Det komplexa talet χ ( g )/ n är ett algebraiskt heltal.

Eftersom q är relativt primtal till n , av Bézouts identitet finns det två heltal x och y så att:

xq^{d}+yn=1\quad {\text{därför}}\quad {\frac {\chi (g)}{n}}=x{\frac {q^{d}\chi (g)}{n}}+y\chi (g).

Eftersom en linjär kombination med heltalskoefficienter för algebraiska heltal återigen är ett algebraiskt heltal, bevisar detta påståendet.

Bilden av g , under representationen ρ , är en homoteti.

Låt ζ vara det komplexa talet χ ( g )/ n . Det är ett algebraiskt heltal, så dess norm N ( ζ ) (dvs produkten av dess konjugat , det vill säga rötterna till dess minimala polynom över $\mathbb {Q}$ ) är ett heltal som inte är noll. Nu ζ medelvärdet av enhetsrötter (egenvärdena för ρ ( g )), därför är det också dess konjugat, så de har alla ett absolut värde som är mindre än eller lika med 1. Eftersom det absoluta värdet av deras produkt N ( ζ ) är större än eller lika med 1, måste deras absoluta värde alla vara 1, i synnerhet ζ , vilket betyder att egenvärdena för ρ ( g ) alla är lika, så ρ ( g ) är en homotet.

Slutsats

Låt N vara kärnan i ρ . Homoteten ρ ( g ) är central i Im( ρ ) (som är kanoniskt isomorf till G / N ), medan g inte är central i G . Följaktligen är den normala undergruppen N i den enkla gruppen G icke-trivial, därför är den lika med G , vilket motsäger det faktum att ρ är en icke-trivial representation.

Denna motsägelse bevisar satsen.

Bender, Helmut (1972), "A group theoretic proof of Burnside's p ^a q ^b -theorem.", Math. Z. , 126 (4): 327–338, doi : 10.1007/bf01110337 , MR 0322048 , S2CID 119821947
Burnside, W. (1904), "On Groups of Order p ^α q ^β " , Proc. London Math. Soc. (s2-1 (1)): 388–392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388
Goldschmidt, David M. (1970), "A group theoretic proof of the p ^a q ^b theorem for udda primtal", Math. Z. , 113 (5): 373–375, doi : 10.1007/bf01110506 , MR 0276338 , S2CID 123625253
James, Gordon; och Liebeck, Martin (2001). Representationer och karaktärer av grupper (2:a upplagan). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X . Se kapitel 31.
Matsuyama, Hiroshi (1973), "Solvability of groups of order 2 ^a q ^b .", Osaka J. Math. , 10 : 375-378, MR 0323890