J-homomorfism

Inom matematiken är J - homomorfismen en kartläggning från de speciella ortogonala gruppernas homotopigrupper till sfärernas homotopigrupper . Det definierades av George W. Whitehead ( 1942 ), som utökade en konstruktion av Heinz Hopf ( 1935 ).

Definition

Whiteheads ursprungliga homomorfism definieras geometriskt och ger en homomorfism

$J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+ q}(S^{q})$

av abelska grupper för heltal q , och $r\geq 2$ . (Hopf definierade detta för specialfallet $q=r+1$ .)

J - homomorfismen kan definieras enligt följande. Ett element i den speciella ortogonala gruppen SO( q ) kan betraktas som en karta

$S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}$

och homotopigruppen ${\displaystyle \pi _{r}(\operatörsnamn {SO} (q))} )$ består av homotopiklasser av kartor från r -sfären till SO( q ) . Således kan ett element av $\pi _{r}(\operatörsnamn {SO} (q))$ representeras av en karta

$S^{r}\times S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}$

Att tillämpa Hopf-konstruktionen på detta ger en karta

$S^{r+q}=S^{r}*S^{q-1}\högerpil S (S^{q-1})=S^{q}$

i $\pi _{r+q}(S^{q})$ , som Whitehead definierade som bilden av elementet i ${\ displaystyle \pi _{r}(\operatörsnamn {SO} (q))}$ under J-homomorfismen.

Att ta en gräns eftersom q tenderar till oändlighet ger den stabila J -homomorfismen i stabil homotopi-teorin :

$J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} )\to \pi _{r}^{S},$

där $\mathrm {SO}$ är den oändliga speciella ortogonala gruppen, och den högra sidan är den r :e stabila stammen av de stabila homotopigrupperna av sfärer .

Bild av J-homomorfismen

Bilden av J -homomorfismen beskrevs av Frank Adams ( 1966 ), med antagandet av Adams gissning om Adams (1963) som bevisades av Daniel Quillen ( 1971 ) , enligt följande. Gruppen $\pi _{r}(\operatörsnamn {SO} )$ ges av Bott- periodicitet . Det är alltid cykliskt ; och om r är positivt är det av ordningen 2 om r är 0 eller 1 modulo 8, oändligt om r är 3 modulo 4, och ordningen 1 annars ( Switzer 1975 , s. 488). I synnerhet är bilden av den stabila J -homomorfismen cyklisk. De stabila homotopigrupperna $\pi _{r}^{S}$ är den direkta summan av den (cykliska) bilden av J -homomorfismen och kärnan av Adams e-invariant ( Adams 1966 ) , en homomorfism från de stabila homotopigrupperna till $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ . Om r är 0 eller 1 mod 8 och positiv är bildens ordning 2 (så i det här fallet är J -homomorfismen injektiv ). Om r är 3 mod 4 är bilden en cyklisk ordningsgrupp lika med nämnaren för ${\displaystyle B_{2n}/4n} ,$ där $B_{2n}$ är ett Bernoulli-nummer . I de återstående fallen där r är 2, 4, 5 eller 6 mod 8 är bilden trivial eftersom $\pi _{r}(\operatörsnamn {SO} )$ är trivial.

r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
$\pi _{r}(\operatörsnamn {SO} )$	1	2	1	$\mathbb {Z}$	1	1	1	$\mathbb {Z}$	2	2	1	$\mathbb {Z}$	1	1	1	$\mathbb {Z}$	2	2
$|\operatörsnamn {im} (J)|$	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
$\pi _{r}^{S}$	$\mathbb {Z}$	2	2	24	1	1	2	240	2 2	2 3	6	504	1	3	2 2	480×2	2 2	2 4
$B_{2n}$				1⁄6 _ _				− 1⁄30 _ _				1⁄42 _ _				− 1⁄30 _ _

Ansökningar

Michael Atiyah ( 1961 ) introducerade gruppen J ( X ) av ett utrymme X , som för X är en sfär bilden av J -homomorfismen i en lämplig dimension.

Kokärnan i J -homomorfismen $\pi _{n}^{S} }$ to visas i gruppen Θ _n av h -kobordismklasser av orienterad homotopi n -sfärer ( Kosinski (1992) ).

•   Atiyah, Michael Francis (1961), "Thom complexes", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 11 : 291–310, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.291 , MR 0131880
• Adams, JF (1963), "Om grupperna J(X) I", Topology , 2 (3): 181, doi : 10.1016/0040-9383(63)90001-6
• Adams, JF (1965a), "Om grupperna J(X) II", Topology , 3 (2): 137, doi : 10.1016/0040-9383(65)90040-6
• Adams, JF (1965b), "Om grupperna J(X) III", Topology , 3 (3): 193, doi : 10.1016/0040-9383(65)90054-6
• Adams, JF (1966), "On the groups J(X) IV", Topology , 5:21 , doi : 10.1016/0040-9383(66)90004-8 . "Correction", Topology , 7 (3): 331, 1968, doi : 10.1016/0040-9383(68)90010-4
• Hopf, Heinz (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension" , Fundamenta Mathematicae , 25 : 427–440
•   Kosinski, Antoni A. (1992), Differential Manifolds , San Diego, CA: Academic Press , s. 195ff , ISBN 0-12-421850-4
• Milnor, John W. (2011), "Differential topology forty-six years later" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 58 (6): 804–809
•   Quillen, Daniel (1971), "The Adams conjecture", Topology , 10 : 67–80, doi : 10.1016/0040-9383(71)90018-8 , MR 0279804
•   Switzer, Robert M. (1975), Algebraic Topology—Homotopy and Homology , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06758-2
•    Whitehead, George W. (1942), "On the homotopy groups of spheres and rotation groups", Annals of Mathematics , Second Series, 43 (4): 634–640, doi : 10.2307/1968956 , JSTOR 1968956 , MR 7007
•    Whitehead, George W. (1978), Elements of homotopy theory , Berlin: Springer , ISBN 0-387-90336-4 , MR 0516508