Virtuell knut

Olöst problem i matematik :

[Utökning av Jones-polynomet till allmänna 3-förgreningar.] Kan det ursprungliga Jones-polynomet , som definieras för 1-länkar i 3-sfären (3-kulan, 3-mellanslag R3), utökas för 1-länkar i något 3-grenrör?

(fler olösta problem i matematik)

I knutteorin är en virtuell knut en generalisering av knutar i det 3-dimensionella euklidiska rummet , $R 3$ , till knutar i förtjockade ytor $\Sigma \times [0,1]$ modulo en ekvivalensrelation kallas stabilisering/destabilisering. Här $\Sigma$ är stängd och orienterad. Virtuella knutar introducerades först av Kauffman (1999) .

Översikt

I teorin om klassiska knutar kan knutar betraktas som ekvivalensklasser av knutdiagram under Reidemeister-dragen . På samma sätt kan en virtuell knut betraktas som en ekvivalens av virtuella knutdiagram som är likvärdiga under generaliserade Reidemeister-rörelser. Virtuella knutar tillåter till exempel förekomsten av knutar vars Gauss-koder inte kunde existera i det 3-dimensionella euklidiska rummet . Ett virtuellt knutdiagram är en 4-valent plan graf, men varje vertex får nu vara en klassisk korsning eller en ny typ som kallas virtuell. De generaliserade dragen visar hur man manipulerar sådana diagram för att få ett likvärdigt diagram; ett drag som kallas det semi-virtuella draget involverar både klassiska och virtuella korsningar, men alla andra drag involverar bara en variant av korsningar.

Virtuella knutar är viktiga, och det finns ett starkt samband mellan Quantum Field Theory och virtuella knutar. ^{[ citat behövs ]}

Virtuella knutar i sig är fascinerande föremål och har många kopplingar till andra områden inom matematiken. Virtuella knutar har många spännande kopplingar med andra områden inom knutteorin. Det olösta problemet som visas är en viktig motivation till studiet av virtuella knutar.

Se avsnitt 1.1 i detta dokument [KOS] för bakgrunden till och historien om detta problem. Kauffman lämnade in en lösning i fallet med produktgrenröret med sluten orienterad yta och det stängda intervallet, genom att introducera virtuella 1-knop . Den är öppen i övriga fall. Wittens vägintegral för Jones polynom är skriven för länkar i vilket kompakt 3-grenrör som helst formellt, men kalkylen görs inte ens på fysiknivå i något annat fall än 3-sfären (3-kulan, 3-rums R3). Detta problem är också öppet på fysiknivå. I fallet med Alexanderpolynom är detta problem löst.

En klassisk knut kan också betraktas som en ekvivalensklass av Gauss-diagram under vissa drag som kommer från Reidemeister-dragen. Alla Gauss-diagram är inte realiserbara som knutdiagram, men genom att beakta alla ekvivalensklasser av Gauss-diagram får vi virtuella knutar.

En klassisk knut kan betraktas som en omgivande isotopklass av inbäddningar av cirkeln i en förtjockad 2-sfär. Detta kan generaliseras genom att överväga sådana klasser av inbäddningar i förtjockade ytor av högre släkte. Detta är inte riktigt vad vi vill ha eftersom att lägga till ett handtag på en (tjock) yta kommer att skapa en högre genus inbäddning av den ursprungliga knuten. Att lägga till ett handtag kallas stabilisering och den omvända processen destabilisering. Således kan en virtuell knut betraktas som en omgivande isotopklass av inbäddningar av cirkeln i förtjockade ytor med ekvivalensen som ges av (de)stabilisering.

Några grundläggande satser om klassiska och virtuella knutar:

Om två klassiska knutar är likvärdiga som virtuella knutar, är de likvärdiga med klassiska knutar.
Det finns en algoritm för att avgöra om en virtuell knut är klassisk.
Det finns en algoritm för att avgöra om två virtuella knutar är likvärdiga.

Det är viktigt att det finns ett samband mellan följande. Se tidningen [KOS] som citeras ovan och nedan.

Virtuell ekvivalens av virtuella 1-knopsdiagram, som är en uppsättning virtuella 1-knopsdiagram.
Svetsad ekvivalens av virtuella 1-knopsdiagram
Rotationssvetsad ekvivalens av virtuella 1-knopsdiagram
Fibervis ekvivalens av virtuella 1-knopsdiagram

Virtuella 2-knopar definieras också. Se tidningen som citeras ovan.

Se även

Knutar och grafer

Boden, Hans; Nagel, Matthias (2017). "Konkordansgrupp av virtuella knutar" . Proceedings of the American Mathematical Society . 145 (12): 5451–5461. doi : 10.1090/proc/13667 . S2CID 119139769 .
Carter, J. Scott; Kamada, Seiichi; Saito, Masahico (2002). "Stabil ekvivalens av knutar på ytor och virtuella knutkobordismer. Knots 2000 Korea, Vol. 1 (Yongpyong)". J. Knot Theory Ramifications . 11 (3): 311–322.
Carter, J. Scott; Silver, Daniel; Williams, Susan (2014). "Invarianter av länkar i förtjockade ytor" . Algebraisk och geometrisk topologi . 14 (3): 1377–1394. doi : 10.2140/agt.2014.14.1377 . S2CID 53137201 .
Dye, Heather A (2016). An Invitation to Knot Theory: Virtual and Classical (Första upplagan). Chapman och Hall/CRC. ISBN 9781315370750 .
Goussarov, Mikhail; Polyak, Michael; Viro, Oleg (2000). "Invarianter av ändlig typ av klassiska och virtuella knutar". Topologi . 39 (5): 1045–1068. arXiv : math/9810073 . doi : 10.1016/S0040-9383(99)00054-3 . S2CID 8871411 .
Kamada, Naoko; Kamda, Seiichi (2000). "Abstrakta länkdiagram och virtuella knutar". Journal of Knot Theory and its Ramifications . 9 (1): 93–106. doi : 10.1142/S0218216500000049 .
Kauffman, Louis H. (1999). "Virtuell knutteori" (PDF) . European Journal of Combinatorics . 20 (7): 663–690. doi : 10.1006/eujc.1999.0314 . ISSN 0195-6698 . MR 1721925 . S2CID 5993431 .
Kauffman, Louis H.; Manturov, Vassily Olegovich (2005). "Virtuella knutar och länkar". arXiv : math.GT/0502014 .
Kuperberg, Greg (2003). "Vad är en virtuell länk?" . Algebraisk och geometrisk topologi . 3 : 587-591. doi : 10.2140/agt.2003.3.587 . S2CID 16803280 .
Manturov, Vassily (2004). Knutteori . CRC Tryck. ISBN 978-0-415-31001-7 .
Manturov, Vassily Olegovich (2004). "Virtuella knutar och oändligt dimensionella Lie-algebror". Acta Applicandae Mathematicae . 83 (3): 221–233. doi : 10.1023/B:ACAP.0000038944.29820.5e . S2CID 124019548 .
Turaev, Vladimir (2008). "Kobordism av knutar på ytor". Journal of Topology . 1 (2): 285–305. arXiv : math/0703055 . doi : 10.1112/jtopol/jtn002 . S2CID 17888102 .

externa länkar