Bergman kärna

I den matematiska studien av flera komplexa variabler är Bergman-kärnan, uppkallad efter Stefan Bergman, den reproducerande kärnan för Hilbert - rummet ( RKHS ) av alla kvadratintegrerbara ^holomorfa funktioner på en domän D i Cn .

I detalj, låt L ² ( D ) vara Hilbert-rummet för kvadratintegrerbara funktioner på D , och låt L ^{2, h} ( D ) beteckna underrummet som består av holomorfa funktioner i L ² ( D ): det vill säga,

L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)

där H ( D ) är rymden av holomorfa funktioner i D. Då är L ^{2, h} ( D ) ett Hilbert-rum: det är ett slutet linjärt delrum av L ² ( D ), och därför komplett i sin egen rätt. Detta följer av den grundläggande uppskattningen, att för en holomorf kvadratintegrerbar funktion ƒ i D

\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D) }

()

för varje kompakt delmängd K av D . Sålunda innebär konvergens av en sekvens av holomorfa funktioner i L ² ( D ) också kompakt konvergens , och därför är gränsfunktionen också holomorf.

En annan konsekvens av () är att, för varje z ∈ D , utvärderingen

\operatörsnamn {ev} _{z}:f\mapsto f(z)

är en kontinuerlig linjär funktionell på L ^{2, h} ( D ). Genom Riesz-representationssatsen kan denna funktional representeras som den inre produkten med ett element av L ^{2, h} ( D ), vilket vill säga att

\operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta) .

Bergman-kärnan K definieras av

K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.

Kärnan K ( z ,ζ) är holomorf i z och antiholomorf i ζ, och uppfyller

f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).

En viktig observation om denna bild är att L ^{2, h} ( D ) kan identifieras med utrymmet för $L^{2}$ holomorfa (n,0)-former på D, via multiplikation med $dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}$ . Eftersom den $L^{2}$ på detta utrymme är uppenbart invariant under biholomorfismer av D, är Bergman-kärnan och den associerade Bergman-metriken därför automatiskt invarianta under domänens automorfismgrupp.

Se även

Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of Several Complex Variables , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2724-6 .
Chirka, EM (2001) [1994], "Bergman kärnfunktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .