Szegő kärna

I den matematiska studien av flera komplexa variabler är Szegő -kärnan en integralkärna som ger upphov till en reproducerande kärna på ett naturligt Hilbert-rum av holomorfa funktioner . Den är uppkallad efter sin upptäckare, den ungerske matematikern Gábor Szegő .

Låt Ω vara en avgränsad domän i C ⁿ med C ² -gräns, och låt A (Ω) beteckna utrymmet för alla holomorfa funktioner i Ω som är kontinuerliga på ${\overline {\Omega }}$ . Definiera Hardy-utrymmet H ² (∂Ω) till att vara stängningen i L ² (∂Ω) av begränsningarna för element i A (Ω) till gränsen. Poisson- integralen innebär att varje element ƒ av H ² (∂Ω) sträcker sig till en holomorf funktion Pƒ i Ω. Dessutom, för varje z ∈ Ω, kartan

$f\mapsto Pf(z)$

definierar en kontinuerlig linjär funktion på H ² (∂Ω). Med Riesz representationssats representeras denna linjära funktional av en kärna k _z , det vill säga

$Pf(z)=\int _{\partial \Omega }f(\zeta ){\overline {k_{z}(\zeta )}}\,d\sigma (\zeta).$

Szegő-kärnan definieras av

$S(z,\zeta )={\overline {k_{z}(\zeta )}},\quad z\in \Omega ,\zeta \in \partial \Omega .$

Liksom sin nära kusin, Bergman-kärnan , är Szegő-kärnan holomorf i z . Faktum är att om φ _i är en ortonormal bas av H ² (∂Ω) som helt består av begränsningarna av funktioner i A (Ω), så visar ett Riesz–Fischer-satsargument att

$S(z,\zeta )=\sum _{i=1}^{\infty }\phi _{i}(z){\overline {\phi _{i}(\zeta )}}.$

•   Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of Several Complex Variables , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2724-6