Bergman metrisk

Inom differentialgeometri är Bergman -metriken en hermitisk metrik som kan definieras på vissa typer av komplexa grenrör . Den kallas så för att den härstammar från Bergmankärnan, som båda är uppkallade efter Stefan Bergman .

Definition

Låt $G\subset {\mathbb {C} }^{n}$ vara en domän och låt $K(z,w)$ vara Bergman-kärnan på G . Vi definierar ett hermitiskt mått på tangentbunten $T_{z}{\mathbb {C} }^{n}$ med

$g_{ij}(z):={\frac {\partial ^{2}}{ \partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}\log K(z,z),$

för $z\in G$ . Då ges längden på en tangentvektor $\xi \in T_{z}{\mathbb {C} }^{n}$ av

$\left\vert \xi \right\vert _{B,z}:={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(z)\xi _{ i}{\bar {\xi}}_{j}}}.$

Detta mått kallas Bergman-metriken på G .

Längden på en (styckvis) C ¹ -kurva $\gamma \colon [0,1]\to {\mathbb {C} }^{n}$ beräknas sedan som

$\ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\left\vert {\frac {\partial \gamma }{\partial t}}(t)\right\vert _{B, \gamma (t)}dt.$

Avståndet $d_{G}(p,q)$ för två punkter $p,q\in G$ definieras då som

$d_{G}(p,q):=\inf\{\ell (\gamma )\mid {\text{ alla bitvis }}C^{1}{\text{ kurvor }}\gamma {\ text{ så att }}\gamma (0)=p{\text{ och }}\gamma (1)=q\}.$

Avståndet d _G kallas för Bergmandistansen .

Bergmanmåttet är i själva verket en positiv bestämd matris vid varje punkt om G är en avgränsad domän. Ännu viktigare är att avståndet d _G är invariant under biholomorfa mappningar av G till en annan domän $G'$ . Det vill säga om f är en biholomorfism av G och $G'$ , då $d_{G}( p,q)=d_{G'}(f(p),f(q))$ .

• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

Den här artikeln innehåller material från Bergman metric på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .