Baire funktion

I matematik är Baire-funktioner funktioner som erhålls från kontinuerliga funktioner genom transfinit iteration av operationen att bilda punktvisa gränser för sekvenser av funktioner . De introducerades av René-Louis Baire 1899. En Baire-uppsättning är en uppsättning vars karakteristiska funktion är en Baire-funktion. (Det finns andra liknande, men olikvärdiga definitioner av Baire-uppsättningar.)

Klassificering av Baire-funktioner

Baire-funktioner av klass α, för vilket som helst räknebart ordningstal α, bildar ett vektorutrymme av reella funktioner definierade på ett topologiskt utrymme enligt följande.

• Baire klass 0-funktionerna är de kontinuerliga funktionerna .
• Baire klass 1-funktionerna är de funktioner som är den punktvisa gränsen för en sekvens av Baire-klass 0-funktioner.
• I allmänhet är Baire-klassen α-funktioner alla funktioner som är den punktvisa gränsen för en sekvens av funktioner i Baire-klassen mindre än α.

Vissa författare definierar klasserna något annorlunda genom att ta bort alla funktioner i klass mindre än α från funktionerna i klass α. Detta innebär att varje Baire-funktion har en väldefinierad klass, men funktionerna i en given klass bildar inte längre ett vektorrum.

Henri Lebesgue bevisade att (för funktioner på enhetsintervallet ) varje Baire-klass av ett räknat ordningstal innehåller funktioner som inte tillhör någon mindre klass, och att det finns funktioner som inte är i någon Baire-klass.

Baire klass 1

Exempel:

• Derivatan av en differentierbar funktion är av klass 1. Ett exempel på en differentierbar funktion vars derivata inte är kontinuerlig (vid x = 0) är funktionen lika med $displaystyle x^{2} \sin(1/x)}$ \ när x ≠ 0, och 0 när x = 0. En oändlig summa av liknande funktioner (skalade och förskjutna med rationella tal ) kan till och med ge en differentierbar funktion vars derivata är diskontinuerlig på en tät mängd. Den har dock nödvändigtvis kontinuitetspunkter, vilket lätt följer av The Baire Characterization Theorem (nedan; ta K = X = R ).
• Den karakteristiska funktionen för mängden heltal , som är lika med 1 om x är ett heltal och 0 annars. (Ett oändligt antal stora diskontinuiteter.)
• Thomaes funktion , som är 0 för irrationell x och 1/ q för ett rationellt tal p / q (i reducerad form). (En tät uppsättning diskontinuiteter, nämligen uppsättningen rationella tal.)
• Den karakteristiska funktionen för Cantor-mängden , som är lika med 1 om x finns i Cantor-mängden och 0 annars. Denna funktion är 0 för en oräknelig uppsättning av x -värden och 1 för en oräknelig uppsättning. Den är diskontinuerlig där den är lika med 1 och kontinuerlig där den är lika med 0. Den approximeras av de kontinuerliga funktionerna $g_{n}(x) =\max(0,{1-nd(x,C)})$ , där $d(x,C)$ är avståndet för x från närmaste punkt i Cantor-uppsättningen.

Baire Characterization Theorem anger att en funktion f med reellt värde definierad på ett Banach-rum X är en Baire-1-funktion om och endast om för varje icke -tom sluten delmängd K av X , begränsningen av f till K har en kontinuitetspunkt relativt till topologin av K .

Enligt en annan sats av Baire är kontinuitetspunkterna för varje Baire-1-funktion en comeager G _δ- mängd ( Kechris 1995 , sats (24.14)).

Baire klass 2

Ett exempel på en Baire klass 2-funktion på intervallet [0,1] som inte tillhör klass 1 är den karakteristiska funktionen för de rationella talen, ${\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }} ,$ även känd som Dirichlet-funktionen som är diskontinuerlig överallt .

Bevis

Vi presenterar två bevis.

1. Detta kan ses genom att notera att för varje finit samling av rationaler är den karakteristiska funktionen för denna mängd Baire 1: nämligen funktionen $g_ {n}(x)=\max(0,{1-nd(x,K)})$ konvergerar identiskt med den karakteristiska funktionen för $K$ , där $K$ är den ändliga samlingen av rationaliteter. Eftersom rationalerna är räknebara kan vi titta på punktgränsen för dessa saker över $K_{n}=\{r_{1},r_{2 },\dots ,r_{n}\}$ , där $r_{n}$ är en uppräkning av rationalerna. Det är inte Baire-1 enligt satsen som nämns ovan: uppsättningen av diskontinuiteter är hela intervallet (visst är uppsättningen av kontinuitetspunkter inte större).
2. Dirichlet-funktionen kan konstrueras som den dubbla punktvisa gränsen för en sekvens av kontinuerliga funktioner, enligt följande:

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \ chi _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty}\left(\cos(k!\pi x)\right )^{2j}\right)$

för heltal j och k .

Baire klass 3

Ett exempel på sådana funktioner ges av indikatorn för uppsättningen normala tal , som är en Borel-uppsättning av rang 3 .

Se även

• Baire set
• Ingenstans kontinuerlig funktion

• Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
• Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions upphör, professées au collège de France , Gauthier-Villars .
• Kechris, Alexander S. (1995), Classical Descriptive Set Theory , Springer-Verlag .

externa länkar

• Springer Encyclopaedia of Mathematics artikel om Baire-klasser