Inom matematiken har Watsons lemma , bevisat av GN Watson (1918, s. 133), betydande tillämpning inom teorin om integralers asymptotiska beteende .
Uttalande av lemma
Låt
0
< T ≤ ∞
{\displaystyle 0<T\leq \infty }
φ ( t ) =
t
λ
g ( t )
{\displaystyle \varphi (t)=t^{\lambda }\,g(t)}
g ( t )
{\displaystyle g(t)}
t =
0
{\displaystyle t=0}
0
g ( ) ≠
0
{\displaystyle g(0)\neq 0}
λ > − 1
{\displaystyle \lambda >-1}
Antag, dessutom, antingen det
0
|
φ ( t )
|
< K
e
b t
∀ t > ,
{\displaystyle |\varphi (t)|<Ke^{bt}\ \forall t>0,}
där
K , b
{\displaystyle K,b}
t
{\displaystyle t}
0
∫
T
|
φ ( t )
|
d
t < ∞ .
{\displaystyle \int _{0}^{T}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}
Då är det sant att för alla positiva
x
{\displaystyle x}
|
0
∫
T
e
− x t
φ ( t )
d
t
|
< ∞
{\displaystyle \left|\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|<\infty }
och att följande asymptotiska ekvivalens gäller:
0
0
∫
T
e
− x t
φ ( t )
d
t ∼
∑
n =
0
∞
0
g
( n )
( ) Γ ( λ + n + 1 )
n !
x
λ + n + 1
, ( x > , x → ∞ ) .
{\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \ \sum _{n=0}^{\infty }{\ frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}},\ \ (x>0,\ x \rightarrow \infty ).}
Se till exempel Watson (1918) för originalbeviset eller Miller (2006) för en nyare utveckling.
Bevis
Vi kommer att bevisa versionen av Watsons lemma som antar att
|
φ ( t )
|
{\displaystyle |\varphi (t)|}
t → ∞
{\displaystyle t\to \infty }
g ( t )
{\displaystyle g(t)}
g
{\displaystyle g}
Taylors sats med resten i det återstående lilla intervallet, och sedan addera svansen tillbaka på till slut. Vid varje steg kommer vi noggrant att uppskatta hur mycket vi slänger eller lägger på. Detta bevis är en modifiering av det som finns i Miller (2006) .
Låt
0
< T ≤ ∞
{\displaystyle 0<T\leq \infty }
φ
{\displaystyle \varphi }
φ ( t ) =
t
λ
g ( t )
{\displaystyle \varphi ( t)=t^{\lambda }g(t)}
λ > − 1
{\displaystyle \lambda >-1}
g
{\displaystyle g}
0
[ , δ ]
{\displaystyle [0,\delta ]}
0
< δ < T
{\displaystyle 0<\delta <T}
|
φ ( t )
|
≤ K
e
b t
{\displaystyle |\varphi (t)|\leq Ke^{bt}}
δ ≤ t ≤ T
{\displaystyle \delta \leq t\leq T}
K
{\displaystyle K}
b
{\displaystyle b}
t
{\displaystyle t}
Vi kan visa att integralen är finit för
x
{\displaystyle x}
( 1 )
0
∫
T
e
− x t
φ ( t )
d
t =
0
∫
δ
e
− x t
φ ( t )
d
t +
∫
δ
T
e
− x t
φ ( t )
d
t
{\displaystyle (1)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi ( t)\,\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t}
och uppskatta varje term.
För första terminen har vi
|
0
∫
δ
e
− x t
φ ( t )
d
t
|
≤
0
∫
δ
e
− x t
|
φ ( t )
|
d
t ≤
0
∫
δ
|
φ ( t )
|
d
t
{\displaystyle \left|\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{0}^ {\delta }e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\leq \int _{0}^{\delta }|\varphi (t)|\,\mathrm { d} t}
för
x ≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
g
{\displaystyle g}
0
[ , δ ]
{\displaystyle [0,\delta ]}
λ > − 1
{\displaystyle \lambda >-1}
φ
{\displaystyle \varphi }
x > b
{\displaystyle x>b}
|
∫
δ
T
e
− x t
φ ( t )
d
t
|
≤
∫
δ
T
e
− x t
|
φ ( t )
|
d
t
≤ K
∫
δ
T
e
( b − x ) t
d
t
≤ K
∫
δ
∞
e
( b − x ) t
d
t
= K
e
( b − x ) δ
x − b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\delta}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|&\leq \int _{\delta }^{T}e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{T}e^{ (bx)t}\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{\infty }e^{(bx)t}\,\mathrm {d} t\\& =K\,{\frac {e^{(bx)\delta }}{xb}}.\end{aligned}}}
Den ursprungliga integralens ändlighet följer sedan av att triangelolikheten tillämpas på
( 1 )
{\displaystyle (1)}
Vi kan dra slutsatsen från ovanstående beräkning att
( 2 )
0
∫
T
e
− x t
φ ( t )
d
t =
0
∫
δ
e
− x t
φ ( t )
d
t + O
(
x
− 1
e
− δ x
)
{\displaystyle (2)\quad \int _ {0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\ ,\mathrm {d} t+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)}
som
x → ∞
{\displaystyle x\to \infty }
Genom att appellera till Taylors teorem med resten vet vi att för varje heltal
N ≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
g ( t ) =
∑
n =
0
N
0
g
( n )
( )
n !
t
n
+
g
( N + 1 )
(
t
∗
)
( N + 1 ) !
t
N + 1
{\displaystyle g(t)=\summa _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\,t^{n }+{\frac {g^{(N+1)}(t^{*})}{(N+1)!}}\,t^{N+1}}
för
0
≤ t ≤ δ
{\displaystyle 0\leq t\leq \delta }
0
≤
t
∗
≤ t
{\displaystyle 0\leq t^{*}\leq t}
( 2 )
{\displaystyle (2)}
( 3 )
0
∫
δ
e
− x t
φ ( t )
d
t
=
0
∫
δ
e
− x t
t
λ
g ( t )
d
t
=
∑
n =
0
N
0
g
( n )
( )
n !
0
∫
δ
t
λ + n
e
− x t
d
t +
1
( N + 1 ) !
0
∫
δ
g
( N + 1 )
(
t
∗
)
t
λ + N + 1
e
− x t
d
t .
{\displaystyle {\begin{aligned}(3)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0 }^{\delta }e^{-xt}t^{\lambda }g(t)\,\mathrm {d} t\\&=\summa _{n=0}^{N}{\frac { g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta}t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+{ \frac {1}{(N+1)!}}\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N +1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}
För att binda termen som involverar resten använder vi antagandet att
g
( N + 1 )
{\displaystyle g^{(N+1)}} är
0
kontinuerlig
[ , δ ]
{\displaystyle [0,\delta ]}
|
0
∫
δ
g
( N + 1 )
(
t
∗
)
t
λ + N + 1
e
− x t
d
t
|
≤
sup
0
t ∈ [ , δ ]
|
g
( N + 1 )
( t )
|
0
∫
δ
t
λ + N + 1
e
− x t
d
t
<
sup
0
t ∈ [ , δ ]
|
g
( N + 1 )
( t )
|
0
∫
∞
t
λ + N + 1
e
− x t
d
t
=
sup
0
t ∈ [ , δ ]
|
g
( N + 1 )
( t )
|
Γ ( X + N + 2 )
x
X + N + 2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1 }e^{-xt}\,\mathrm {d} t\right|&\leq \sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t) \right|\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&<\sup _{t\in [ 0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +N+1}e^{-xt }\,\mathrm {d} t\\&=\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\,{\frac {\Gamma (\lambda +N+2)}{x^{\lambda +N+2}}}.\end{aligned}}}
Här har vi använt det faktum att
0
∫
∞
t
a
e
− x t
d
t =
Γ ( a + 1 )
x
a + 1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{a}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (a+1)}{x^{a+1}}}}
om
x >
0
{\displaystyle x>0}
a > − 1
{\displaystyle a>-1}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
gammafunktionen .
Från ovanstående beräkning ser vi från
( 3 )
{\displaystyle (3)}
( 4 )
0
∫
δ
e
− x t
φ ( t )
d
t =
∑
n =
0
N
0
g
( n )
( )
n !
0
∫
δ
t
λ + n
e
− x t
d
t + O
(
x
− λ − N − 2
)
{\displaystyle (4)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\summa _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0} ^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)}
som
x → ∞
{\displaystyle x\to \infty }
Vi kommer nu att lägga till svansarna på varje integral i
( 4 )
{\displaystyle (4)}
n
{\displaystyle n}
0
∫
δ
t
λ + n
e
− x t
d
t
=
0
∫
∞
t
λ + n
e
− x t
d
t −
∫
δ
∞
t
λ + n
e
− x t
d
t
=
Γ ( λ ) + n + 1
_
_ + n + 1
−
∫
δ
∞
t
λ + n
e
− x t
d
t ,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{ -xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t-\int _{ \delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {\Gamma (\lambda +n+1 )}{x^{\lambda +n+1}}}-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t ,\end{aligned}}}
och vi kommer att visa att de återstående integralerna är exponentiellt små. Faktum är att om vi ändrar variablerna
t = s + δ
{\displaystyle t=s+\delta }
∫
δ
∞
t
λ + n
e
− x t
d
t
=
0
∫
∞
( s + δ
)
λ + n
e
− x ( s + δ )
d s
=
e
− δ x
0
∫
∞
( s +
λ
n
_
)
+
_
− x s
d s
≤
e
− δ x
0
∫
∞
( s + δ
)
λ + n
e
− s
d s
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\delta }^{\infty }t^{\ lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-x(s+\ delta )}\,ds\\[5pt]&=e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-xs} \,ds\\[5pt]&\leq e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-s}\, ds\end{aligned}}}
för
x ≥ 1
{\displaystyle x\geq 1}
0
∫
δ
t
λ + n
e
− x t
d
t =
Γ ( λ + n + 1 )
x
λ + n + 1
+ O
(
e
− δ x
)
som
x → ∞ .
{\displaystyle \int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (\lambda +n+1 )}{x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right){\text{ as }}x\to \infty .}
Om vi ersätter det sista resultatet med
( 4 )
{\displaystyle (4)}
0
∫
δ
e
− x t
φ ( t )
d
t
=
∑
n =
0
N
0
g
( n )
( ) Γ ( λ + n + 1 )
n !
x
λ + n + 1
+ O
(
e
− δ x
)
+ O
(
x
− λ − N − 2
)
=
∑
n =
0
N
0
g
( n )
( ) Γ ( λ + n + 1 )
n !
x
λ + n + 1
+ O
(
x
− λ − N − 2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\, \mathrm {d} t&=\summa _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x ^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right)+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\\&= \sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+ 1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}
som
x → ∞
{\displaystyle x\to \infty }
( 2 )
{\displaystyle (2)}
0
∫
T
e
− x t
φ ( t )
d
t
=
∑
n =
0
N
0
g
( n )
( ) Γ ( λ + n + 1 )
n !
x
λ + n + 1
+ O
(
x
− λ − N − 2
)
+ O
(
x
− 1
e
− δ x
)
=
∑
n =
0
N
0
g
( n )
( ) Γ ( λ + n + 1 )
n !
x
λ + n + 1
+ O
(
x
− λ − N − 2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\ mathrm {d} t&=\summa _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^ {\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right )\\&=\summa _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{ \lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}
som
x → ∞
{\displaystyle x\to \infty }
Eftersom detta sista uttryck är sant för varje heltal
N ≥
0
{\displaystyle N\geq 0}
0
∫
T
e
− x t
φ ( t )
d
t ∼
∑
n =
0
∞
0
g
( n )
( ) Γ ( λ + n + 1 )
n !
x
λ + n + 1
{\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \sum _{n=0}^{ \infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}}
som
x → ∞
{\displaystyle x\to \infty }
asymptotisk expansion av integralen i fråga.
Exempel
När
0
< a < b
{\displaystyle 0<a<b} har
konfluenta hypergeometriska funktionen av det första slaget integralrepresentationen
1
F
1
( a , b , x ) =
Γ ( b )
Γ ( a ) Γ ( b − a )
0
∫
1
e
x t
t
a − 1
( 1 − t
)
b − a − 1
d
t ,
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (ba)}}\int _{0}^{1 }e^{xt}t^{a-1}(1-t)^{ba-1}\,\mathrm {d} t,}
där
Γ
{\displaystyle \Gamma }
gammafunktionen . Ändringen av variabler
t = 1 − s
{\displaystyle t=1-s}
1
F
1
( a , b , x ) =
Γ ( b )
Γ ( a ) Γ ( b − a )
e
x
0
∫
1
e
− x s
( 1 − s
)
a − 1
s
b − a − 1
d s ,
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (ba)}}\,e^{x }\int _{0}^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{ba-1}\,ds,}
som nu kan användas av Watsons lemma. Med
λ = b − a − 1
{\displaystyle \lambda =ba-1}
g ( s ) = ( 1 − s
)
a − 1
{\displaystyle g(s)=(1-s)^{a-1 }}
0
0
∫
1
e
− x s
( 1 − s
)
a − 1
s
b − a − 1
d s ∼ Γ ( b − a )
x
a − b
som
x → ∞
med
x > ,
{\displaystyle \int _{0} ^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{ba-1}\,ds\sim \Gamma (ba)x^{ab}\quad {\text{as }}x\till \infty {\text{ med }}x>0,}
vilket gör att vi kan dra slutsatsen
1
F
1
( a , b , x ) ∼
Γ ( b )
Γ ( a )
x
a − b
e
x
som
x → ∞
med
x > 0.
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a, b,x)\sim {\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\,x^{ab}e^{x}\quad {\text{som }}x\to \infty {\text{ med }}x>0.}
Miller, PD (2006), Applied Asymptotic Analysis , Providence, RI: American Mathematical Society, sid. 467, ISBN 978-0-8218-4078-8 .
Watson, GN (1918), "De harmoniska funktionerna associerade med den paraboliska cylindern" , Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 2, nr. 17, s. 116–148, doi : 10.1112/plms/s2-17.1.116 .
Ablowitz, MJ, Fokas, AS (2003). Komplexa variabler: introduktion och tillämpningar. Cambridge University Press .
![[0,\delta]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e470c2978f96e03afad4bc73d198c8dd6ade046a)
![\begin{align}
\left|\int_0^\delta g^{(N+1)}(t^*)\, t^{\lambda+N+1} e^{-xt}\,\mathrm dt\right| &\leq \sup_{t \in [0,\delta]} \left|g^{(N+1)}(t)\right| \int_0^\delta t^{\lambda+N+1} e^{-xt}\,\mathrm dt \\
&< \sup_{t \in [0,\delta]} \left|g^{(N+1)}(t)\right| \int_0^\infty t^{\lambda+N+1} e^{-xt}\,\mathrm dt \\
&= \sup_{t \in [0,\delta]} \left|g^{(N+1)}(t)\right| \,\frac{\Gamma(\lambda + N + 2)}{x^{\lambda+N+2}}.
\end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088c6d8aead67a29697d944b25ece6f6740c5714)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a636c582e462d650f8bb182df4a3967f0c9f59d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-x(s+\delta )}\,ds\\[5pt]&=e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-xs}\,ds\\[5pt]&\leq e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-s}\,ds\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286f7c944db155c4d6838d44b51b09f3cac078c6)
