Metod för dominerande balans

Inom matematiken används metoden för dominant balans för att bestämma det asymptotiska beteendet hos lösningar till en vanlig differentialekvation utan att helt lösa ekvationen. Processen är iterativ, genom att resultatet som erhålls genom att utföra metoden en gång kan användas som input när metoden upprepas, för att få så många termer i den asymptotiska expansionen som önskas.

Processen går till som följer:

1. Antag att det asymptotiska beteendet har formen

   $y(x)\sim e^{S(x)}.$

2. Gör en välgrundad gissning om vilka villkor i ODE som kan vara försumbara i intressegränsen.
3. Släpp dessa termer och lös den resulterande enklare ODE.
4. Kontrollera att lösningen överensstämmer med steg 2. Om så är fallet har man den styrande faktorn för det asymptotiska beteendet; annars måste man istället försöka ta bort olika termer i steg 2.
5. Upprepa processen till högre order och lita på ovanstående resultat som den ledande termen i lösningen.

Exempel

För godtyckliga konstanter c och a , överväg

$xy''+(cx)y'-ay=0.$

Denna differentialekvation kan inte lösas exakt. Det är dock användbart att överväga hur lösningarna beter sig för stora x : det visar sig att $y$ beter sig som $e^{x}\,$ som x → ∞ .

Mer rigoröst kommer vi att ha $\log(y)\sim {x}$ , inte $y\sim e^{x}$ . Eftersom vi är intresserade av beteendet hos y i den stora x- gränsen, ändrar vi variabler till y = exp( S ( x )), och återuttrycker ODE i termer av S ( x ),

$xS''+xS'^{2}+(cx)S'-a=0,\,$

eller

$S''+S'^{2}+\left({\frac {c}{x}}-1\right )S'-{\frac {a}{x}}=0\,$

där vi har använt produktregeln och kedjeregeln för att utvärdera derivatan av y .

Antag nu först att en lösning på denna ODE uppfyller

$S'^{2}\sim S',$

som x → ∞, så att

$S'',~{\frac {c}{x}}S',~{\frac {a }{x}}=o(S'^{2}),~o(S')\,$

som x → ∞. Erhåll sedan det dominerande asymptotiska beteendet genom att sätta

$S_{0}'^{2}=S_{0}'.$

Om $S_{0}$ uppfyller ovanstående asymptotiska villkor, är antagandet ovan konsekvent. Villkoren vi släppte kommer att ha varit försumbara med avseende på de vi behöll.

$S_{0}$ är inte en lösning på ODE för S , men det representerar det dominerande asymptotiska beteendet, vilket är det vi är intresserade av. Kontrollera att detta val för $S_{0}$ är konsekvent,

${\begin{aligned}S_{ 0}'&=1\\S_{0}'^{2}&=1\\S_{0}''&=0=o(S_{0}')\\{\frac {c}{x }}S_{0}'&={\frac {c}{x}}=o(S_{0}')\\{\frac {a}{x}}&=o(S_{0}') \end{aligned}}$

Allt är verkligen konsekvent.

Således har det dominerande asymptotiska beteendet hos en lösning på vår ODE hittats,

${\begin{aligned}S_{0}&\sim x\\\log(y)&\sim x.\end{aligned}}$

Enligt konvention skrivs den fullständiga asymptotiska serien som

$y\sim Ax^{p}e^{ \lambda x^{r}}\left(1+{\frac {u_{1}}{x}}+{\frac {u_{2}}{x^{2}}}+\cdots +{\ frac {u_{k}}{x^{k}}}+o\left({\frac {1}{x^{k}}}\right)\right),$

så för att få åtminstone den första termen i denna serie måste vi ta ytterligare ett steg för att se om det finns en potens av x längst fram.

Fortsätt genom att introducera en ny underledande beroende variabel,

$S(x)\equiv S_{0}(x)+C(x)\,$

och sök sedan asymptotiska lösningar för C ( x ). Genom att ersätta S ( x ) i ovanstående ODE finner vi

$C''+C'^{2}+C'+{\frac {c}{x}}C '+{\frac {ca}{x}}=0.$

Genom att upprepa samma process som tidigare, behåller vi C' och ( c − a )/ x för att hitta det

$C_{0}=\log x^{ac}.$

Det ledande asymptotiska beteendet är då

$y\sim x^{ac}e^{x}.$

Se även

• Asymptotisk analys