Bianchi grupp

I matematik är en Bianchi-grupp en grupp av formen

PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})

där d är ett positivt kvadratfritt heltal . Här betecknar PSL den projektiva speciella linjära gruppen och ${\mathcal {O}}_{d}$ är ringen av heltal i det imaginära kvadratiska fältet $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ .

Grupperna studerades först av Bianchi ( 1892 ) som en naturlig klass av diskreta undergrupper av ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )} ,$ nu benämnda kleinska grupper .

Som en undergrupp av $PSL_{2}(\mathbb {C} )$ agerar en Bianchi-grupp som orienteringsbevarande isometrier av 3-dimensionell hyperbolisk rymd $\mathbb { H} ^{3}$ . Kvotmellanrummet $M_{d}=PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})\backslash \mathbb {H} ^ {3}$ är en icke-kompakt, hyperbolisk 3-faldig med ändlig volym, som också kallas Bianchi orbifold . En exakt formel för volymen, i termer av Dedekind zeta-funktionen för basfältet ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})} ,$ beräknades av Humbert enligt följande. Låt $D$ vara diskriminanten av $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ , och $\ Gamma =SL_{2}({\mathcal {O}}_{d})$ , den diskontinuerliga åtgärden på ${\mathcal {H}}$ , sedan

\operatorname {vol} (\Gamma \backslash \mathbb {H} )={\frac {|D|^{3/2}}{4\pi ^{2}}}\zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}(2)\ .

Uppsättningen av cusps av $M_{d}$ är i bijektion med klassgruppen $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ . Det är välkänt att varje icke-kompakt aritmetisk Kleinian-grupp är svagt jämförbar med en Bianchi-grupp.

Bianchi, Luigi (1892). "Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a corpi quadratici immaginarî" . Matematiska Annalen . Springer Berlin / Heidelberg. 40 (3): 332–412. doi : 10.1007/BF01443558 . ISSN 0025-5831 . JFM 24.0188.02 . S2CID 120341527 .
Elstrodt, Jürgen; Grunewald, Fritz; Mennicke, Jens (1998). Grupper som agerar på hyperboliska utrymmen . Springer Monographs in Mathematics. Springer Verlag . ISBN 3-540-62745-6 . Zbl 0888.11001 .
Fine, Benjamin (1989). Algebraisk teori om Bianchi-grupperna . Monografier och läroböcker i ren och tillämpad matematik. Vol. 129. New York: Marcel Dekker Inc. ISBN 978-0-8247-8192-7 . MR 1010229 . Zbl 0760.20014 .
Fine, B. (2001) [1994], "Bianchi group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003). Aritmetiken för hyperboliska 3-grenrör . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 219. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98386-4 . Zbl 1025.57001 .

externa länkar

Allen Hatcher, Bianchi Orbifolds