Appert topologi

I allmän topologi är en gren av matematiken, Appert-topologin , uppkallad efter Antoine Appert ( 1934 ), en topologi på uppsättningen X = {1, 2, 3, ... } av positiva heltal . I Appert-topologin är de öppna uppsättningarna de som inte innehåller 1 och de som asymptotiskt innehåller nästan alla positiva heltal. Mellanrummet X med Appert-topologin kallas för Appert-utrymmet .

Konstruktion

För en delmängd S av X , låt N( n , S ) beteckna antalet element i S som är mindre än eller lika med n :

$\mathrm {N} (n,S)=\#\{m\in S:m\leq n\}.$

S definieras som öppen i Appert-topologin om den antingen inte innehåller 1 eller om den har en asymptotisk densitet lika med 1, dvs den uppfyller

$\lim _{n\to \infty }{\frac {{\text{N}}(n,S)}{n}}=1$ .

Den tomma mängden är öppen eftersom den inte innehåller 1, och hela mängden X är öppen eftersom ${\text{N}}(n,X)/n=1$ för alla n .

Relaterade topologier

Appert-topologin är nära besläktad med Fort-rymdtopologin som uppstår genom att ge uppsättningen av heltal större än ett den diskreta topologin och sedan ta punkten 1 som punkten i oändligheten i en enpunktskomprimering av rymden. Appert-topologin är finare än Forts rymdtopologi, eftersom varje kofinit delmängd av X har asymptotisk densitet lika med 1.

Egenskaper

• De slutna delmängderna S av X är de som antingen innehåller 1 eller som har noll asymptotisk densitet, nämligen $\lim _{n\to \infty }\mathrm {N } (n,S)/n=0$ .

• 
  Varje punkt i X har en lokal bas av clopen-uppsättningar , dvs X är ett nolldimensionellt utrymme . Bevis : Varje öppet område av 1 är också stängt. För alla $x\neq 1$ är { x } {\displaystyle \{x\}} både $.$

• 
  X är Hausdorff och helt normalt (T6 ₎ . Bevis : X är T ₁ . Med tanke på vilka två osammanhängande slutna uppsättningar A och B som helst, innehåller åtminstone en av dem, säg A , inte 1. A är då clopen och A och dess komplement är disjunkta respektive områden av A och B , vilket visar att X är normal och Hausdorff . Slutligen är vilken delmängd som helst, i synnerhet vilken sluten delmängd som helst, i ett räknebart Ti- _utrymme en G _δ , så X är helt normalt.

• X är räknebart, men inte första countable , och därmed inte andra countable och inte metrizable .

• En delmängd av X är kompakt om och endast om den är ändlig. I synnerhet är X inte lokalt kompakt , eftersom det inte finns någon kompakt grannskap på 1.

• 
  X är inte räknat kompakt . Bevis: Den oändliga mängden $\{2^{n}:n\geq 1\}$ har noll asymptotisk densitet, och är därför stängd i X . Var och en av dess punkter är isolerade. Eftersom X innehåller en oändlig sluten diskret delmängd är den inte limit point compact , och därför är den inte räknat kompakt.

Se även

• Lista över topologier – Lista över konkreta topologier och topologiska rum

Anteckningar

•   Appert, Antoine (1934), Propriétés des Espaces Abstraits les Plus Généraux , Faktisk. Sci. Ind., Hermann, MR 3533016 .
•   Steen, LA; Seebach, JA (1995), Counterexamples in Topology , Dover, ISBN 0-486-68735-X .