Gränspunkt kompakt

Inom matematiken sägs ett topologiskt utrymme $X$ vara gränspunktskompakt eller svagt räknat kompakt om varje oändlig delmängd av $X$ har en gränspunkt i $X.$ Den här egenskapen generaliserar en egenskap för kompakta utrymmen . I ett metriskt utrymme är gränspunktskompakthet, kompakthet och sekventiell kompakthet alla likvärdiga. För generella topologiska utrymmen är emellertid dessa tre begrepp om kompakthet inte ekvivalenta.

Egenskaper och exempel

• I ett topologiskt rum är delmängder utan gränspunkt exakt de som är stängda och diskreta i delrumstopologin. Så ett utrymme är limit point kompakt om och bara om alla dess slutna diskreta delmängder är ändliga.
• Ett utrymme $X$ är inte limit point kompakt om och endast om det har ett oändligt stängt diskret underutrymme. Eftersom vilken delmängd som helst av en stängd diskret delmängd av $X$ i sig själv är stängd i $X$ och diskret, motsvarar detta att kräva att $X$ har ett oräkneligt oändligt stängt diskret underrum.
• Några exempel på mellanslag som inte är limiteringspunktkompakta: (1) Mängden $\mathbb {R}$ av alla reella tal med sin vanliga topologi, eftersom heltal är en oändlig mängd men inte har en gränspunkt i $\mathbb {R}$ ; (2) en oändlig mängd med den diskreta topologin; (3) den räknebara komplementtopologin på en oräknelig uppsättning.
• Varje räknat kompakt utrymme (och därmed varje kompakt utrymme) är limit point kompakt.
• För T ₁ utrymmen är gränspunktskompakthet ekvivalent med räknebar kompakthet.
• Ett exempel på gränspunktskompakt utrymme som inte är räknat kompakt erhålls genom att "dubbla heltal", nämligen att ta produkten $X=\mathbb {Z} \times Y$ där $\mathbb {Z}$ är mängden av alla heltal med den diskreta topologin och $Y=\{0,1\}$ den indiskreta topologin . Mellanrummet $X$ är homeomorft till den udda-jämna topologin . Detta utrymme är inte T ₀ . Den är gränspunktskompakt eftersom varje icke-tom delmängd har en gränspunkt.
• ₀ Ett exempel på T- rymd som är gränspunktskompakt och inte räknat kompakt är $X=\mathbb {R} ,$ mängden av alla reella tal, med rätt ordningstopologi , dvs topologin genererad av alla intervaller $(x,\infty ).$ Utrymmet är limit point kompakt eftersom givet valfri punkt $a\in X,$ varje $x<a$ är en limit point of $\{a\}.$
• För mätbara utrymmen är kompakthet, räknebar kompakthet, gränspunktskompakthet och sekventiell kompakthet alla likvärdiga.
• Slutna delrum i ett gränspunktskompakt utrymme är gränspunktskompakta.
• Den kontinuerliga bilden av ett gränspunktskompakt utrymme behöver inte vara gränspunktskompakt. Till exempel, om $X=\mathbb {Z} \times Y$ med $\mathbb {Z}$ diskret och $Y$ indiskret som i exemplet ovan, kartan $f=\pi _{\mathbb {Z} }$ som ges genom projektion på den första koordinaten är kontinuerlig, men $f(X)=\mathbb {Z }$ är inte limit point compact.
• Ett gränspunktskompakt utrymme behöver inte vara pseudokompakt . Ett exempel ges av samma $X=\mathbb {Z} \times Y$ med $Y$ indiskret tvåpunktsutrymme och kartan $f =\pi _{\mathbb {Z} },$ vars bild inte är begränsad i $\mathbb {R} .$
• Ett pseudokompakt utrymme behöver inte vara limit point kompakt. Ett exempel ges av en oräknelig mängd med den samräknebara topologin .
• 
  Varje normalt pseudokompakt utrymme är limit point kompakt. Bevis : Antag att $X$ är ett normalt utrymme som inte är limit point kompakt. Det finns en uträkneligt oändlig sluten diskret delmängd $A=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}$ av $X.$ Enligt Tietze-förlängningssatsen kan den kontinuerliga funktionen $f$ på $A$ definierad av $f(x_{n})=n$ utökas till en (obegränsad) reellt värderad kontinuerlig funktion på hela $X.$ Så $X$ är inte pseudokompakt.
• Limit point kompakta utrymmen har räknebar utsträckning .
• Om $(X,\tau )$ och $(X,\sigma )$ är topologiska utrymmen med $\sigma$ finare än $\ tau$ och $(X,\sigma )$ är gränspunktskompakt, så är det $(X,\tau ).$

Se även

• Kompakt utrymme – Typ av matematiskt utrymme
• Räkneligt kompakt utrymme – topologiskt utrymme där från varje räknebart öppet lock av utrymmet, ett ändligt lock kan extraheras Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Sekventiellt kompakt utrymme – Topologiskt utrymme där varje sekvens har en konvergent undersekvens.

Anteckningar

•    Munkres, James R. (2000). Topologi (andra upplagan). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur (1995) [Först publicerad 1978 av Springer-Verlag, New York]. Motexempel i topologi . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X . OCLC 32311847 .
• Den här artikeln innehåller material från Weakly countably compact på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .