Akustisk vågekvation

Inom fysiken styr den akustiska vågekvationen utbredningen av akustiska vågor genom ett materialmedium resp. ett stående vågfält . Formen av ekvationen är en andra ordningens partiell differentialekvation . Ekvationen beskriver utvecklingen av det akustiska trycket $p$ eller partikelhastigheten u som en funktion av position x och tiden $t$ . En förenklad (skalär) form av ekvationen beskriver akustiska vågor i endast en rumslig dimension, medan en mer generell form beskriver vågor i tre dimensioner. Utbredningsvågor i en fördefinierad riktning kan också beräknas med hjälp av första ordningens envägsvågekvation .

För media med förlust måste mer intrikata modeller användas för att ta hänsyn till frekvensberoende dämpning och fashastighet. Sådana modeller inkluderar akustiska vågekvationer som innehåller bråkdelar av derivattermer, se även om akustisk dämpning eller enkäten.

I en dimension

Ekvation

Vågekvationen som beskriver ett stående vågfält i en dimension (position ${\displaystyle x} )$ är

${\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}} {\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0,$

där $p$ är det akustiska trycket (den lokala avvikelsen från det omgivande trycket), och där $c$ är ljudets hastighet .

Lösning

Förutsatt att hastigheten $c$ är en konstant, inte beroende av frekvens (det dispersionsfria fallet), så är den mest allmänna lösningen

$p=f(ct-x)+g(ct+x)$

där $f$ och $g$ är två två gånger differentierbara funktioner. Detta kan avbildas som överlagringen av två vågformer med godtycklig profil, en ( $f$ ) som rör sig uppåt x-axeln och den andra ( $g$ ) nedför x-axeln med hastigheten ${ \displaystyle c}$ . Det speciella fallet med en sinusformad våg som rör sig i en riktning erhålls genom att välja antingen $f$ eller $g$ för att vara en sinusform, och den andra att vara noll, vilket ger

$p=p_{0}\sin(\omega t\mp kx)$ .

där $\omega$ är vågens vinkelfrekvens och $k$ är dess vågnummer .

Härledning

Härledning av den akustiska vågekvationen

Härledningen av vågekvationen innefattar tre steg: härledning av tillståndsekvationen, den linjäriserade endimensionella kontinuitetsekvationen och den linjäriserade endimensionella kraftekvationen.

Tillståndsekvationen ( ideal gaslag )

$PV=nRT$

I en adiabatisk process kan trycket P som funktion av densiteten $\rho$ linjäriseras till

$P=C\rho \,$

där C är någon konstant. Dela upp trycket och densiteten i deras medelvärde och totala komponenter och notera att $C={\frac {\partial P}{\partial \rho }}$ :

$P-P_{0}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)(\rho - \rho _{0})$ .

Den adiabatiska bulkmodulen för en vätska definieras som

$B=\rho _{0}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right) _{adiabatisk}$

vilket ger resultatet

$P-P_{0}=B{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}$ .

Kondensation, s , definieras som förändringen i densitet för en given omgivande fluiddensitet.

$s={\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}$

Den linjäriserade tillståndsekvationen blir

$p=Bs\,$ där p är det akustiska trycket ( ${\displaystyle P-P_{0}})$ .

Kontinuitetsekvationen (bevarande av massa ) i en dimension är

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u) =0$ .

Där u är vätskans flödeshastighet . Återigen måste ekvationen linjäriseras och variablerna delas upp i medelvärde och variabla komponenter.

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho _{ 0}s)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho _{0}u+\rho _{0}su)=0$

Omordna och notera att den omgivande densiteten ändras med varken tid eller position och att kondensationen multiplicerad med hastigheten är ett mycket litet tal:

${\frac {\partial s}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}u=0$

Eulers kraftekvation (bevarande av momentum) är den sista nödvändiga komponenten. I en dimension är ekvationen:

$\rho {\frac {Du}{Dt}}+{\frac {\partial P}{\partial x}}=0$ ,

där $D/Dt$ representerar den konvektiva, väsentliga eller materiella derivatan , vilket är derivatan vid en punkt som rör sig längs med mediet snarare än vid en fast punkt.

Linjärisering av variablerna:

$(\rho _{0}+\rho _{0}s)\left({ \frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}\right)u+{\frac {\partial }{\partial x}}(P_{0}+ p)=0$ .

Om du ordnar om och försummar små termer, blir den resulterande ekvationen den linjäriserade endimensionella Euler-ekvationen:

$\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}= 0$ .

Att ta tidsderivatan av kontinuitetsekvationen och den rumsliga derivatan av kraftekvationen resulterar i:

${\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2 }u}{\partial x\partial t}}=0$

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2} u}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0$ .

Multiplicera den första med $\rho _{0}$ , subtrahera de två och ersätta den linjäriserade tillståndsekvationen,

$-{\frac {\rho _{0}}{B}}{\frac {\partial ^{2}p}{\ partiell t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0$ .

Slutresultatet är

${\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{ \partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0$

där $c={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}}$ är fortplantningshastigheten.

I tre dimensioner

Ekvation

Feynman tillhandahåller en härledning av vågekvationen för ljud i tre dimensioner som

$\nabla ^{2}p-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^ {2}}=0,$

där $\nabla ^{2}$ är Laplace-operatorn , $p$ är det akustiska trycket (den lokala avvikelsen från det omgivande trycket), och $c$ är ljudets hastighet .

En liknande vågekvation men för vektorfältet ges partikelhastigheten av

$\nabla ^{2}\mathbf {u} \;-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {u} \; \over \partial t^{2}}=0$ .

I vissa situationer är det bekvämare att lösa vågekvationen för en abstrakt skalär fälthastighetspotential som har formen

$\nabla ^{2}\Phi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial t ^{2}}=0$

och härled sedan de fysiska storheterna partikelhastighet och akustiskt tryck genom ekvationerna (eller definition, i fallet med partikelhastighet):

$\mathbf {u} =\nabla \Phi \;$ ,

$p=-\rho {\partial \over \partial t}\Phi$ .

Lösning

Följande lösningar erhålls genom separation av variabler i olika koordinatsystem. De är faslösningar , det vill säga de har en implicit tidsberoende faktor på $e^{i\omega t}$ där $\omega =2\pi f$ är vinkelfrekvensen . _ Det explicita tidsberoendet ges av

$p(r,t,k)=\operatörsnamn {Real} \left[p(r,k)e ^{i\omega t}\right]$

Här är $k=\omega /c\$ vågtalet .

kartesiska koordinater

$p(r,k)=Ae^{\pm ikr}$ .

Cylindriska koordinater

$p(r,k)=AH_{0}^{(1)}(kr)+ \ BH_{0}^{(2)}(kr)$ .

där de asymptotiska approximationerna till Hankelfunktionerna , när $kr\rightarrow \infty$ , är

$H_{0}^{(1)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2} {\pi kr}}}e^{i(kr-\pi /4)}$

$H_{ 0}^{(2)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{-i(kr-\pi /4)}$ .

Sfäriska koordinater

$p(r,k)={\frac {A}{r}}e^{\pm ikr}$ .

Beroende på den valda Fourierkonventionen representerar en av dessa en utåtgående våg och den andra en icke-fysisk inåtgående våg. Den inåtgående lösningsvågen är endast icke-fysisk på grund av singulariteten som uppstår vid r=0; inåtgående vågor existerar.

Se även

• Akustik
• Akustisk dämpning
• Akustisk teori
• Våg ekvation
• Enkelriktad vågekvation
• Differentialekvationer
• Termodynamik
• Vätskedynamik
• Tryck
• Ideal Gas Law