Varifold

I matematik är en varifold , löst sett, en måttteoretisk generalisering av begreppet en differentierbar manifold , genom att ersätta differentiabilitetskraven med de som tillhandahålls av likriktbara uppsättningar , samtidigt som den allmänna algebraiska strukturen som vanligtvis ses i differentialgeometri bibehålls . Varifolds generaliserar idén om en likriktbar ström och studeras i geometrisk måttteori .

Historisk anteckning

Varifolds introducerades först av Laurence Chisholm Young i ( Young 1951 ), under namnet " generaliserade ytor ". Frederick J. Almgren Jr. modifierade definitionen något i sina mimeograferade anteckningar ( Algren 1965 ) och myntade namnet varifold : han ville betona att dessa objekt är substitut för vanliga manifolds i problem med variationskalkylen . Den moderna inställningen till teorin baserades på Almgrens anteckningar och fastställdes av William K. Allard, i tidningen ( Allard 1972) .

Definition

Givet en öppen delmängd $\Omega$ av det euklidiska rymden $\mathbb {R} ^{n}$ definieras en m -dimensionell varifold på ${\displaystyle \Omega } som ett$ radonmått på uppsättningen

$\Omega \times G(n,m)$

där $G(n,m)$ är Grassmannian av alla m -dimensionella linjära delrum i ett n -dimensionellt vektorrum. Grassmannian används för att tillåta konstruktion av analoger till differentialformer som dualer till vektorfält i det ungefärliga tangentrymden för mängden $\Omega$ .

Det speciella fallet med en likriktbar varifold är data för en m -likriktbar mängd M (som är mätbar med avseende på det m -dimensionella Hausdorff-måttet), och en densitetsfunktion definierad på M , som är en positiv funktion θ mätbar och lokalt integrerbar med avseende på det m -dimensionella Hausdorff-måttet. Den definierar ett radonmått V på Grassmann-knippet på ℝ ⁿ

$V(A):=\int _{\Gamma _{M,A}}\!\!\!\ !\!\!\!\theta (x)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(x)$

var

• $\Gamma _{M,A}=M\cap \{x:(x,\mathrm {Tan} ^{m}(x,M))\i A\}$
• ${\mathcal {H}}^{m}(x)$ är $m$ −dimensionellt Hausdorff-mått

Likriktbara varifolder är svagare objekt än lokalt likriktbara strömmar: de har ingen orientering . Genom att ersätta M med mer vanliga uppsättningar ser man lätt att differentierbara undergrenrör är speciella fall av likriktbara grenrör .

På grund av bristen på orientering finns det ingen gränsoperator definierad på utrymmet för varifolder.

Se även

• Nuvarande
• Geometrisk måttteori
• Gräsman
• Platåns problem
• Radonmått

Anteckningar

•     Almgren, Frederick J. Jr. (1993), "Frågor och svar om areaminimerande ytor och geometrisk måttteori." i Greene, Robert E. ; Yau, Shing-Tung (red.), Differential Geometry. Del 1: Partiella differentialekvationer på grenrör. Proceedings of a Summer Research Institute, som hölls vid University of California, Los Angeles, CA, USA, 8–28 juli 1990, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 54, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 29–53, ISBN 978-0-8218-1494-9 , MR 1216574 , Zbl 0812.49032 . Denna uppsats återges även i ( Almgren 1999 , s. 497–521).
•     Almgren, Frederick J. Jr. (1999), Selected works of Frederick J. Almgren, Jr. , Collected Works, vol. 13, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1067-5 , MR 1747253 , Zbl 0966.01031 .
•    De Giorgi, Ennio (1968), "Hypersurfaces of minimal measure in pluridimensional euclidean spaces" (PDF) , i Petrovsky, Ivan G. (red.), Trudy Mezhdunarodnogo kongressa matematikov. Proceedings of International Congress of Mathematicians (Moscow−1966) , ICM Proceedings , Moscow : Mir Publishers , s. 395−401, MR 0234329 , Zbl 0188.17503 .
•     Allard, William K. (maj 1972), "On the first variation of a varifold", Annals of Mathematics , Second Series, 95 (3): 417–491, doi : 10.2307/1970868 , JSTOR 1970868 , MR 030702 , 24102 .24102 .
•     Allard, William K. (maj 1975), "On the first variation of a varifold: Boundary Behavior", Annals of Mathematics , Second Series, 101 ( 3): 418–446, doi : 10.2307/1970934 , JSTOR 1970934 039 , 7 , Zbl 0319.49026 .
• Almgren, Frederick J. Jr. (1965), Theory of varifolds: A variational calculus in the large for the $k$ -dimensional area integrand , Princeton : Princeton University Library , sid. 178 . En uppsättning mimeograferade anteckningar där Frederick J. Almgren Jr. introducerar varifolds för första gången.
•    Almgren, Frederick J. Jr. (1966), Plateau's Problem: An Invitation to Varifold Geometry , Mathematics Monographs Series (1:a upplagan), New York–Amsterdam: WA Benjamin, Inc., s. XII+74, MR 0190856 , Zbl 0165.13201 . Den första brett spridda boken som beskriver konceptet med en mångfald. I kapitel 4 finns ett avsnitt med titeln " En lösning på existensdelen av Plateaus problem " men de stationära varifolderna som används i detta avsnitt kan bara lösa en mycket förenklad version av problemet. Till exempel har de enda stationära varifolderna som innehåller enhetscirkeln stöd för enhetsskivan. 1968 använde Almgren en kombination av varifolder, integralströmmar, platta kedjor och Reifenbergs metoder i ett försök att utöka Reifenbergs berömda papper från 1960 till elliptiska integrander. Det finns dock allvarliga fel i hans bevis. En annan inställning till Reifenberg-problemet för elliptiska integrander har nyligen tillhandahållits av Harrison och Pugh ( HarrisonPugh 2016 ) utan att använda varifolds.
• Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016), Allmänna metoder för elliptisk minimering, sid. 22, arXiv : 1603.04492 , Bibcode : 2016arXiv160304492H .
•     Almgren, Frederick J. Jr. (2001) [1966], Plateau's Problem: An Invitation to Varifold Geometry , Student Mathematical Library, vol. 13 (2nd ed.), Providence, RI : American Mathematical Society , s. xvi+78, ISBN 978-0-8218-2747-5 , MR 1853442 , Zbl 0995.49001 . Bokens andra upplaga ( Almgren 1966 ) .
•     Đào, Trọng Thi; Fomenko, AT (1991), Minimal Surfaces, Stratified Multivarifolds, and the Plateau Problem , Translations of Mathematical Monographs, vol. 84, Providence, RI: American Mathematical Society , s. ix+404, ISBN 978-0-8218-4536-3 , MR 1093903 , Zbl 0716.53003 .
• TC O'Neil (2001) [1994], "Geometric measure theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•     Simon, Leon (1984), Lectures on Geometric Measure Theory , Proceedings of the Center for Mathematical Analysis, vol. 3, Canberra : Center for Mathematics and its Applications (CMA), Australian National University , s. VII+272 (lös errata), ISBN 978-0-86784-429-0 , MR 0756417 , Zbl 0546.49019 .
•       Lin, Fanghua; Yang, Xiaoping (2002), Geometric Measure Theory – An Introduction , Advanced Mathematics (Beijing/Boston), vol. 1, Beijing –New York / Boston, MA: Science Press / International Press, s. x+237, MR 2030862 , Zbl 0546.49019 , ISBN 7-03-010271-1 (Science Press), ISBN 1-57146-125-6 (Internationell press).
•     White, Brian (1997), "The Mathematics of FJ Almgren Jr." , Notices of the American Mathematical Society , 44 (11): 1451–1456, ISSN 0002-9920 , MR 1488574 , Zbl 0908.01017 .
•       White, Brian (1998), "The mathematics of FJ Almgren, Jr.", The Journal of Geometric Analysis , 8 (5): 681–702, CiteSeerX 10.1.1.120.4639 , doi : 10.1007/BF02922665 , ISSN 6 1050 , MR 1731057 , S2CID 122083638 , Zbl 0955.01020 . En utökad version av ( White 1997 ) med en lista över Almgrens publikationer.
•   Young, Laurence C. (1951), "Surfaces parametriques generalisees" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 79 : 59–84, doi : 10.24033/bsmf.1419 , MR 00464201 , 410204 , Zbl 3   .