λ-ring

I algebra är en λ-ring eller lambda-ring en kommutativ ring tillsammans med några operationer λ ⁿ på den som beter sig som de yttre krafterna av vektorrum . Många ringar som anses i K-teorin har en naturlig λ-ringstruktur. λ-ringar ger också en kraftfull formalism för att studera en verkan av de symmetriska funktionerna på ringen av polynom , vilket återvinner och utökar många klassiska resultat ( Lascoux (2003)) .

λ-ringar introducerades av Grothendieck ( 1957 , 1958 , s.148). För mer om λ-ringar se Atiyah & Tall (1969) , Knutson (1973) , Hazewinkel (2009) och Yau (2010) .

Motivering

Om V och W är ändligdimensionella vektorrum över ett fält k , då kan vi bilda den direkta summan V ⊕ W , tensorprodukten V ⊗ W , och den n -te yttre potensen av V , Λ ⁿ ( V ). Alla dessa är återigen ändligdimensionella vektorrum över k . Samma tre operationer av direkt summa, tensorprodukt och yttre kraft är också tillgängliga när man arbetar med k -linjära representationer av en ändlig grupp , när man arbetar med vektorbuntar över något topologiskt utrymme och i mer allmänna situationer.

λ-ringar är utformade för att abstrahera de vanliga algebraiska egenskaperna för dessa tre operationer, där vi också tillåter formella inverser med avseende på den direkta summaoperationen. (Dessa formella inverser förekommer även i Grothendieck-grupper , vilket är anledningen till att de underliggande additivgrupperna i de flesta λ-ringar är Grothendieck-grupper.) Adderingen i ringen motsvarar den direkta summan, multiplikationen i ringen motsvarar tensorprodukten, och λ-operationerna till de yttre makterna. Till exempel isomorfismen

\Lambda ^{2}(V\oplus W)\cong \Lambda ^{2}(V)\oplus \left(\Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)\right)\oplus \Lambda ^{2}(W)

motsvarar formeln

\lambda ^{2}(x+y)=\lambda ^{2 }(x)+\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)+\lambda ^{2}(y)

giltig i alla λ-ringar och isomorfismen

\Lambda ^{1}(V\otimes W)\cong \Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^ {1}(W)

motsvarar formeln

\lambda ^{1}(xy)=\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)

giltig i alla λ-ringar. Analoga men (mycket) mer komplicerade formler styr de högre ordningens λ-operatorer.

Motivation med vektorbuntar

Om vi har en kort exakt sekvens av vektorbuntar över ett jämnt schema $X$

$0\to {\mathcal {E}}''\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}'\to 0,$

sedan lokalt, för ett tillräckligt litet öppet område $U$ har vi isomorfismen

\bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}|_{U}\cong \bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'|_ {U}\otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''|_{U}

Nu, i Grothendieck-gruppen $K(X)$ av $X$ (som faktiskt är en ring), får vi denna lokala ekvation globalt gratis, från de definierande ekvivalensrelationerna . Så

{{displaystyle {\begin aligned}\left[\bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}\right]&=\left[\bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}' \otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\\&=\sum _{i+j=n}\left[\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}} '\right]\cdot \left[\bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\end{aligned}}}

demonstrera den grundläggande relationen i en λ-ring, det

\lambda ^{n}(x+y)=\summa _{i+j=n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{j}(y).

Definition

En λ-ring är en kommutativ ring R tillsammans med operationer λ ⁿ : R → R för varje icke-negativt heltal n . Dessa operationer måste ha följande egenskaper som gäller för alla x , y i R och alla n, m ≥ 0:

⁰ λ ( x ) = 1
λ ¹ ( x ) = x
λ ⁿ (1) = 0 om n ≥ 2
λ ⁿ ( x + y ) = Σ _{i + j = n} λ ⁱ ( x ) λ ^j ( y )
λ ⁿ ( xy ) = P _n (λ ¹ ( x ), ..., λ ⁿ ( x ), λ ¹ ( y ), ..., λ ⁿ ( y ))
λ ⁿ (λ ^m ( x )) = P _{n , m} (λ ¹ ( x ), ..., λ ^mn ( x ))

där P _n och P _n,m är vissa universella polynom med heltalskoefficienter som beskriver beteendet hos yttre potenser på tensorprodukter och under sammansättning. Dessa polynom kan definieras enligt följande.

Låt e ₁ , ..., e _mn vara de elementära symmetriska polynomen i variablerna X ₁ , ..., X _mn . Då P _{n , m} det unika polynomet i nm variabler med heltalskoefficienter så att P _n,m ( e ₁ , ..., e _mn ) är koefficienten för t ⁿ i uttrycket

\prod _{1\leq i_{1}<i_{2} <\cdots <i_{m}\leq mn}(1+tX_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}})

(Ett sådant polynom finns, eftersom uttrycket är symmetriskt i X _i och de elementära symmetriska polynomen genererar alla symmetriska polynom.)

Låt nu e ₁ , ..., e _n vara de elementära symmetriska polynomen i variablerna X ₁ , ..., X _n och f ₁ , ..., f _n vara de elementära symmetriska polynomen i variablerna Y ₁ , . .., Y _n . Då P _n det unika polynomet i 2 n variabler med heltalskoefficienter så att P _n ( e ₁ , ..., e _n , f ₁ , ..., f _n ) är koefficienten för t ⁿ i uttrycket

\prod _{i,j=1}^{n}(1+tX_{i}Y_{j})

Variationer

λ-ringarna definierade ovan kallas "speciella λ-ringar" av vissa författare, som använder termen "λ-ring" för ett mer allmänt begrepp där villkoren på λ n (1), λ ⁿ ( ^xy ) och λ ^m (λ ⁿ ( x )) tas bort.

Exempel

Ringen Z av heltal , med binomialkoefficienterna $\lambda ^{n}(x)={x \choose n}$ som operationer (som också definieras för negativt x ) är en X-ring. I själva verket är detta den enda λ-strukturen på Z . Det här exemplet är nära relaterat till fallet med ändligdimensionella vektorrum som nämns i avsnittet Motivation ovan, identifierar varje vektorrum med dess dimension och kommer ihåg att $\ dim(\Lambda ^{n}(k^{x}))={x \välj n}$ .
Mer generellt blir vilken binomial ring som helst en λ-ring om vi definierar λ-operationerna som de binomiala koefficienterna, λ ⁿ ( x ) = (
^x_n ). I dessa λ-ringar är alla Adams operationer identiteten.
K -teorin K( X ) för ett topologiskt utrymme X är en λ-ring, med lambda-operationerna inducerade genom att ta yttre potenser av ett vektorknippe.
Givet en grupp G och ett basfält k , är representationsringen R(G) en X - ring ; λ-operationerna induceras av de yttre potenserna av k -linjära representationer av gruppen G .
Ringen Λ _Z för symmetriska funktioner är en λ-ring. På heltalskoefficienterna definieras λ-operationerna av binomialkoefficienter enligt ovan, och om e ₁ , e ₂ , ... betecknar de elementära symmetriska funktionerna sätter vi λ ⁿ ( e ₁ ) = e _n . Genom att använda axiomen för λ-operationerna, och det faktum att funktionerna _ek är algebraiskt oberoende och genererar ringen Λ _Z , kan denna definition utökas på ett unikt sätt för att göra Λ _Z till en λ-ring. I själva verket är detta den fria λ-ringen på en generator, generatorn är e ₁ . (Yau ( 2010 , s.14)).

Ytterligare egenskaper och definitioner

Varje λ-ring har karakteristiken 0 och innehåller λ-ringen Z som en λ-subring.

Många begrepp om kommutativ algebra kan utvidgas till λ-ringar. Till exempel är en λ-homomorfism mellan λ-ringarna R och S en ringhomomorfism f : R → S så att f (λ ⁿ ( x )) = λ ⁿ ( f ( x )) för alla x i R och alla n ≥ 0. Ett λ-ideal i λ-ringen R är ett idealt I i R så att λ ⁿ ( x ) ϵ I för alla x i R och alla n ≥ 1.

Om x är ett element i en λ-ring och m ett icke-negativt heltal så att λ ^m ( x ) ≠ 0 och λ ⁿ ( x ) = 0 för alla n > m , skriver vi dim( x ) = m och anropar elementet x ändligt dimensionellt. Alla element behöver inte vara ändliga dimensionella. Vi har dim( x + y ) ≤ dim( x ) + dim( y ) och produkten av 1-dimensionella element är 1-dimensionell .

Se även

Atiyah, MF; Tall, DO (1969), "Group representations, λ-rings and the J-homomorphism.", Topology , 8 : 253–297, doi : 10.1016/0040-9383(69)90015-9 , MR 0244387
Expo 0 och V i Berthelot, Pierre ; Alexandre Grothendieck ; Luc Illusie , red. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Föreläsningsanteckningar i matematik 225 ) (på franska). Berlin; New York: Springer-Verlag . xii+700. doi : 10.1007/BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8 . MR 0354655 .
Grothendieck, Alexander (1957), "Special λ-ringar", Opublicerad
Grothendieck, Alexander (1958), "La théorie des classes de Chern" , Bull. Soc. Matematik. Frankrike , 86 : 137–154, MR 0116023
Hazewinkel, Michiel (2009), "Witt vectors. I.", Handbook of algebra. Vol. 6 , Amsterdam: Elsevier/North-Holland, s. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi : 10.1016 /S1570-7954(08)00207-6 , ISBN 978-0-444-5 6MR 5725 6
Knutson, Donald (1973), λ-ringar och den symmetriska gruppens representationsteori , Lecture Notes in Mathematics, vol. 308, Berlin-New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0069217 , MR 0364425
Lascoux, Alain (2003), Symmetriska funktioner och kombinatoriska operatorer på polynom (PDF) , CBMS Reg. Konf. Ser. i matte. 99, American Mathematical Society
Soulé, C.; Abramovich, Dan; Burnol, J.-F.; Kramer, Jürg (1992). Föreläsningar om Arakelovs geometri . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 33. Gemensamt arbete med H. Gillet. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47709-3 . Zbl 0812.14015 .
Yau, Donald (2010), Lambda-ringar , Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., doi : 10.1142/7664 , ISBN 978-981-4299-09-1 , MR 2649360