Adams operation

I matematik är en Adams-operation , betecknad ψ ^k för naturliga tal k , en kohomologioperation i topologisk K-teori , eller någon allierad operation i algebraisk K-teori eller andra typer av algebraisk konstruktion, definierad på ett mönster som introducerats av Frank Adams . Grundidén är att implementera några grundläggande identiteter i symmetrisk funktionsteori , på nivån för vektorbuntar eller annat representerande objekt i mer abstrakta teorier.

Adams operationer kan definieras mer generellt i vilken λ-ring som helst .

Adams operationer i K-teori

Adams operationer ψ ^k på K teori (algebraisk eller topologisk) kännetecknas av följande egenskaper.

1. ψ ^k är ringhomomorfismer .
2. ψ ^k (l)= l ^k om l är klassen för en linjebunt .
3. ψ ^k är funktionella .

Grundtanken är att för ett vektorknippe V på ett topologiskt utrymme X finns det en analogi mellan Adams operatorer och yttre krafter , där

ψ ^k ( V ) är till Λ ^k ( V )

som

effektsumman Σ α ^k är till den k -:te elementära symmetriska funktionen σ _k

av rötterna α av ett polynom P ( t ). (Jfr Newtons identiteter .) Här betecknar Λ ^{k den} k -:te yttre kraften. Från klassisk algebra är det känt att potenssummorna är vissa integralpolynom Q _k i σ _k . Tanken är att tillämpa samma polynom på Λ ^k ( V ), och ersätta σ _k . Denna beräkning kan definieras i en K -grupp, i vilken vektorbuntar formellt kan kombineras genom addition, subtraktion och multiplikation ( tensorprodukt) . Polynomen här kallas Newtonpolynom (dock inte Newtonpolynomen i interpolationsteorin ) .

Motiveringen av de förväntade egenskaperna kommer från linjebuntfallet, där V är en Whitney summa av linjebuntar. I detta speciella fall är resultatet av alla Adams-operationer naturligtvis ett vektorknippe, inte en linjär kombination av ettor i K -teorin. Att formellt behandla linjebuntens direkta faktorer som rötter är något ganska standard inom algebraisk topologi (jfr Leray–Hirsch-satsen ) . I allmänhet kommer en mekanism för att reducera till det fallet från uppdelningsprincipen för vektorbuntar.

Adams operationer i grupprepresentationsteori

Adams-operationen har ett enkelt uttryck i grupprepresentationsteorin . Låt G vara en grupp och ρ en representation av G med tecknet χ. Representationen ψ ^k (ρ) har karaktär

${\displaystyle \chi _{\psi ^{k}(\rho )}(g)=\chi _{\rho }(g^{k})\ .} Adams, JF (maj 1962$

•   ) . "Vektorfält på sfärer". Annals of Mathematics . Andra serien. 75 (3): 603–632. doi : 10.2307/1970213 . Zbl 0112.38102 .