Plethystisk exponentiell

Inom matematiken är den pletystiska exponentialen en viss operator definierad på (formella) potensserier som, liksom den vanliga exponentialfunktionen , översätter addition till multiplikation. Denna exponentiella operator förekommer naturligt i teorin om symmetriska funktioner , som en kortfattad relation mellan genererande serier för elementära , fullständiga och makt summerar homogena symmetriska polynom i många variabler. Dess namn kommer från operationen som kallas plethysm , definierad i sammanhanget av så kallade lambda-ringar .

I kombinatorik är den pletystiska exponentialen en genererande funktion för många väl studerade sekvenser av heltal , polynom eller potensserier, såsom antalet heltalspartitioner . Det är också en viktig teknik i den numerativa kombinatoriken för omärkta grafer och många andra kombinatoriska objekt.

Inom geometri och topologi bestämmer den pletystiska exponentialen för en viss geometrisk/topologisk invariant av ett utrymme motsvarande invariant av dess symmetriska produkter.

Definition, huvudegenskaper och grundläggande exempel

Låt $R[[x]]$ vara en ring av formella potensserier i variabeln $x$ , med koefficienter i en kommutativ ring $R$ . Beteckna med

$R^{0}[[x]]\subset R[[x]]$

idealet bestående av potensserier utan konstant term. Sedan, givet $f(x)\in R^{0}[[x]]$ , dess pletystiska exponentiella ${\text{PE }}[f]$ ges av

${\text{PE}}[f](x)=\exp \left(\summa _{k =1}^{\infty }{\frac {f(x^{k})}{k}}\right)$

där $\exp(\cdot )$ är den vanliga exponentialfunktionen. Det är lätt att verifiera att (skriver bara ${\text{PE}}[f]$ när variabeln förstås):

${\begin{aligned}[ll]{\text{PE} }[0]&=1\\{\text{PE}}[f+g]&={\text{PE}}[f]{\text{PE}}[g]\\{\text{PE }}[-f]&={\text{PE}}[f]^{-1}\end{aligned}}$

Några grundläggande exempel är:

${\begin{aligned}[ll]{\text {PE}}[x^{n}]&={\frac {1}{1-x^{n}}},n\in \mathbb {N} \\{\text{PE}}\vänster[ {\frac {x}{1-x}}\right]&=1+\summa _{n\geq 1}p(n)x^{n}\end{aligned}}$

I det här sista exemplet är $p(n)$ antalet partitioner av $n\in \mathbb {N}$ .

Den pletystiska exponentialen kan också definieras för effektserieringar i många variabler.

Produkt-summa formel

Den pletystiska exponentialen kan användas för att tillhandahålla otaliga produkt-summa-identiteter. Detta är en följd av en produktformel för själva pletystiska exponentialer. Om ${\displaystyle f(x)=\summa _{k=1}^{\infty }a_{k}x^{k}} betecknar en formell$ potens serier med reella koefficienter $a_{k}$ , då är det inte svårt att visa att:

$${\text{PE}}[f](x)=\prod _{k=1}^{\ infty }(1-x^{k})^{-a_{k}}$$

Det analoga produktuttrycket gäller även i fallet med många variabler. Ett särskilt intressant fall är dess relation till heltalspartitioner och till den symmetriska gruppens cykelindex .

Relation med symmetriska funktioner

Arbeta med variabler $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ , beteckna med $h_{k}$ den fullständiga homogena symmetriskt polynom , det vill säga summan av alla monomer av grad k i variablerna $x_{i}$ , och med $e_{k}$ de elementära symmetriska polynomen . Sedan $h_{k}$ och $e_{k}$ relaterade till potenssummans polynom: $p_{ k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}$ av Newtons identiteter , som kortfattat kan skrivas, med hjälp av pletystiska exponentialer, som:

$\sum _{n=0}^{\infty }h_{n}\, t^{n}={\text{PE}}[p_{1}\,t]={\text{PE}}[x_{1}t+\cdots +x_{n}t]$

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1 )^{n}e_{n}\,t^{n}={\text{PE}}[-p_{1}\,t]={\text{PE}}[-x_{1}t- \cdots -x_{n}t]$

Macdonalds formel för symmetriska produkter

Låt X vara ett ändligt CW-komplex , av dimensionen d , med Poincaré-polynom

$$P_{X}(t)=\summa _{k=0}^{d}b_{k}(X)\,t ^{k}$$

där $b_{k}(X)$ är dess k :te Betti-tal . Sedan erhålls Poincaré-polynomet av den n: te symmetriska produkten av X , betecknad ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}(X)} ,$ från serieexpansionen:

$${\text{PE}}[P_{X}(-t)\,x]=\prod _{k=0}^{d}\left(1-t^{k}x\right )^{(-1)^{k+1}b_{k}(X)}=\summa _{n\geq 0}P_{\operatörsnamn {Sym} ^{n}(X)}(-t) \,x^{n}$$

Det pletystiska programmet i fysik

I en serie artiklar föreslog en grupp teoretiska fysiker, inklusive Bo Feng, Amihay Hanany och Yang-Hui He , ett program för systematisk räkning av enkel- och flerspårsmätare invarianta operatorer av supersymmetriska spårviddsteorier . I fallet med kogermätsteorier om D-braner som undersöker Calabi-Yaus singulariteter, kodifieras denna räkning i den pletystiska exponentialen i Hilbert-serien av singulariteten.