Zariskis huvudsats

Inom algebraisk geometri är Zariskis huvudsats , bevisad av Oscar Zariski ( 1943 ), ett uttalande om strukturen hos birationalmorfismer som ungefär anger att det bara finns en gren vid varje normalpunkt av en sort. Det är specialfallet med Zariskis kopplingssats när de två varieteterna är birationella.

Zariskis huvudsats kan uttryckas på flera sätt som vid en första anblick verkar vara ganska olika, men i själva verket är djupt besläktade. Några av varianterna som har kallats Zariskis huvudsats är följande:

Den totala transformationen av en normal fundamental punkt i en birational karta har positiv dimension. Detta är i huvudsak Zariskis ursprungliga form av hans huvudsats.
En birational morfism med ändliga fibrer till en normal sort är en isomorfism till en öppen delmängd.
Den totala transformationen av en normalpunkt under en riktig birational morfism är kopplad.
En närbesläktad teorem av Grothendieck beskriver strukturen av kvasi-ändliga morfismer av scheman , vilket antyder Zariskis ursprungliga huvudsats.
Flera resultat i kommutativ algebra som antyder den geometriska formen av Zariskis huvudsats.
En normal lokal ring är unibranch , vilket är en variant av påståendet att transformationen av en normalpunkt är ansluten.
Den lokala ringen av en normalpunkt av en sort är analytiskt normal . Detta är en stark form av uttalandet att det är engrenat.

Namnet "Zariskis huvudsats" kommer från det faktum att Zariski betecknade det som "HUVUDTEOREM" i Zariski ( 1943 ).

Zariskis huvudsats för birationella morfismer

Låt f vara en birational kartläggning av algebraiska varieteter V och W . Kom ihåg att f definieras av en sluten undervarietet $\Gamma \subset V\times W$ (en "graf" av f ) så att projektionen på den första faktorn $p_{1 }$ inducerar en isomorfism mellan en öppen $U\subset V$ och $p_{1}^{-1}(U)$ , och så att ${\displaystyle p_{2}\circ p_{1}^{-1}} är$ också en isomorfism på U. Komplementet av U i V kallas en fundamental varietet eller obestämbarhetslokus , och bilden av en delmängd av V under $p_{2}\circ p_{1}^{-1}$ kallas en total omvandling av det.

Det ursprungliga uttalandet av satsen i ( Zariski 1943 , s. 522) lyder:

HUVUDSAT: Om W är en irreducerbar fundamental variation på V av en birationell överensstämmelse T mellan V och V ′ och om T inte har några fundamentala element på V ′ så - under antagandet att V är lokalt normal vid W - varje irreducerbar komponent i transform T [ W ] är av högre dimension än W.

Här är T i huvudsak en morfism från V ′ till V som är birational, W är en undervarietet av mängden där inversen av T inte definieras vars lokala ring är normal, och transformationen T [ W ] betyder den inversa bilden av W under morfismen från V ′ till V .

Här är några varianter av denna teorem som anges med nyare terminologi. Hartshorne (1977 , Corollary III.11.4) kallar följande anknytningspåstående för "Zariski's Main theorem":

Om f : X → Y är en birational projektiv morfism mellan noetherska integralscheman, så är den omvända bilden av varje normalpunkt i Y kopplad.

Följande konsekvens av det (sats V.5.2, loc.cit. ) går också under detta namn:

Om f : X → Y är en birationell transformation av projektiva varieteter med Y- normal, så är den totala transformationen av en fundamental punkt av f ansluten och av dimensionen minst 1.

Exempel

Antag att V är en jämn variation av dimensioner större än 1 och V ′ ges genom att spränga en punkt W på V . Då V normal vid W , och komponenten i transformationen av W är ett projektivt rum, som har en dimension större än W som förutspåtts av Zariskis ursprungliga form av hans huvudsats.
var transformationen av W irreducerbar. Det är lätt att hitta exempel där den totala transformationen kan reduceras genom att spränga andra punkter på transformationen. Till exempel, om V ′ ges genom att spränga upp en punkt W på V och sedan spränga en annan punkt på denna transformation, har den totala transformationen av W 2 irreducerbara komponenter som möts i en punkt. Som förutspåtts av Hartshornes form av huvudsatsen, är den totala transformationen sammankopplad och har dimensionen minst 1.
För ett exempel där W inte är normal och slutsatsen av huvudsatsen misslyckas, ta V ′ för att vara en jämn variation och ta V som ges genom att identifiera två distinkta punkter på V ′, och ta W som bilden av dessa två poäng. Då W inte normal, och transformationen av W består av två punkter, som inte är sammankopplade och inte har positiv dimension.

Zariskis huvudsats för kvasifinita morfismer

I EGA III kallar Grothendieck följande uttalande som inte involverar anknytning för ett "huvudsats" av Zariski Grothendieck (1961 , Théorème 4.4.3):

Om f : X → Y är en kvasiprojektiv morfism av Noetheriska scheman så är uppsättningen punkter som är isolerade i deras fiber öppen i X . Dessutom är det inducerade schemat för denna uppsättning isomorft till en öppen delmängd av ett schema som är ändligt över Y.

I EGA IV observerade Grothendieck att det sista påståendet kunde härledas från en mer allmän sats om strukturen av kvasifinita morfismer, och den senare kallas ofta för "Zariskis huvudsats i form av Grothendieck". Det är välkänt att öppna nedsänkningar och finita morfismer är kvasiändliga. Grothendieck bevisade att under hypotesen om åtskildhet är alla kvasifinita morfismer sammansättningar av sådana Grothendieck (1966 , Théorème 8.12.6):

om Y är ett kvasikompakt separerat schema och

f:X\to Y

är en separerad , kvasifinit, ändligt presenterad morfism så finns det en faktorisering till

X\to Z\to Y

, där den första kartan är en öppen nedsänkning och den andra är finit.

Relationen mellan denna sats om kvasifinita morfismer och Théorème 4.4.3 i EGA III citerad ovan är att om f : X → Y är en projektiv morfism av varieteter, så är uppsättningen punkter som är isolerade i deras fiber kvasifinit över Y . Då gäller struktursatsen för kvasiändliga morfismer och ger det önskade resultatet.

Zariskis huvudsats för kommutativa ringar

Zariski (1949) omformulerade sin huvudsats i termer av kommutativ algebra som ett påstående om lokala ringar. Grothendieck (1961 , Théorème 4.4.7) generaliserade Zariskis formulering enligt följande:

Om B är en algebra av finit typ över en lokal Noeterisk ring A , och n är ett maximalideal för B som är minimalt bland idealen för B vars inversa bild i A är det maximala idealet m av A , så finns det ett ändligt A - algebra A ′ med en maximal ideal m ′ (vars inversa bild i A är m ) så att lokaliseringen B _n är isomorf till A -algebra A ′ _{m ′} .

A och B dessutom är integraler och har samma bråkfält, och A är integralt sluten, så antyder detta teorem att A och B är lika. Detta är i huvudsak Zariskis formulering av hans huvudsats i termer av kommutativa ringar.

Zariskis huvudsats: topologisk form

En topologisk version av Zariskis huvudsats säger att om x är en (sluten) punkt av en normal komplex variation är den engrenad ; med andra ord finns det godtyckligt små grannskap U av x så att uppsättningen av icke-singulära punkter av U är sammankopplade ( Mumford 1999, III.9).

Egenskapen att vara normal är starkare än egenskapen att vara engrenad: till exempel är en spets av en plan kurva engrenad men inte normal.

Zariskis huvudsats: potensserieform

En formell potensserieversion av Zariskis huvudsats säger att om x är en normalpunkt av en variation så är den analytiskt normal ; med andra ord är kompletteringen av den lokala ringen vid x en normal integral domän ( Mumford 1999, III.9).

Se även

Danilov, VI (2001) [1994], "Zariski theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Grothendieck, Alexandre (1961), Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie , Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 11, s. 5–167
Grothendieck, Alexandre (1966), Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie , Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 28, s. 43–48
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
Mumford, David (1999) [1988], The red book of variants and schemes , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1358 (expanded, Includes Michigan Lectures (1974) on Curves and their Jacobians ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b62130 , ISBN 978-3-540-63293-1 , MR 0748
Peskine, Christian (1966), "Une généralisation du main theorem de Zariski", Bull. Sci. Matematik. (2) , 90 : 119-127
Raynaud, Michel (1970), Anneaux locaux henséliens , Lecture Notes in Mathematics, vol. 169, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0069571 , ISBN 978-3-540-05283-8 , MR 0277519
Zariski, Oscar (1943), "Fundament of a general theory of birational correspondences.", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 53 (3): 490–542, doi : 10.2307/1990215 , JSTOR 1990215 , MR 0008468
Zariski, Oscar (1949), "Ett enkelt analytiskt bevis på en grundläggande egenskap hos birationella transformationer.", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 35 ( 1): 62–66, Bibcode : 1949PNAS...35...62Z , doi : 10.1073/pnas.35.1.62 , JSTOR 88284 , MR 0028056 , PMC 1062959 85 16 , 85

externa länkar

Finns det en intuitiv orsak till Zariskis huvudsats?