Kvasifinit morfism

I algebraisk geometri , en gren av matematik , en morfism f : X → Y av scheman är kvasiändlig om den är av ändlig typ och uppfyller något av följande ekvivalenta villkor:

Varje punkt x i X är isolerad i sin fiber f ⁻¹ ( f ( x )). Med andra ord är varje fiber en diskret (därav ändlig) uppsättning.
För varje punkt x i X är schemat f ⁻¹ ( f ( x )) = X × _Y Spec κ( f ( x )) ett ändligt κ( f ( x )) schema. (Här är κ( p ) restfältet vid en punkt p .)
För varje punkt x i X , ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}\otimes \kappa (f(x))} ändligt över$ genereras $\kappa (f(x))$ .

Kvasifinita morfismer definierades ursprungligen av Alexander Grothendieck i SGA 1 och inkluderade inte hypotesen av finita typ. Denna hypotes lades till definitionen i EGA II 6.2 eftersom den gör det möjligt att ge en algebraisk karakterisering av kvasi-ändlighet i termer av stjälkar .

För en allmän morfism f : X → Y och en punkt x i X sägs f vara kvasiändlig vid x om det finns öppna affina grannskap U av x och V av f ( x ) så att f ( U ) är innesluten i V och så att begränsningen f : U → V är kvasiändlig. f är lokalt kvasifinit om den är kvasiändlig vid varje punkt i X . En kvasikompakt lokalt kvasifinit morfism är kvasiändlig.

Egenskaper

För en morfism f är följande egenskaper sanna.

Om f är kvasiändlig, så är den inducerade kartan f _röd mellan reducerade scheman kvasiändlig.
Om f är en sluten nedsänkning så är f kvasiändlig.
Om X är noetersk och f är en nedsänkning, så är f kvasiändlig.
Om g : Y → Z , och om g ∘ f är kvasiändlig, så är f kvasiändlig om något av följande är sant:
1. g är separerad,
2. X är noetersk,
3. X × _Z Y är lokalt noterskt.

Kvasiändlighet bevaras genom basbyte. Den sammansatta och fiberprodukten av kvasifinita morfismer är kvasiändlig.

Om f är oframifierad vid en punkt x , då är f kvasiändlig vid x . Omvänt, om f är kvasiändlig vid x , och om också ${\mathcal {O}}_{f^{-1}(f(x)) ,x}$ , den lokala ringen av x i fibern f ⁻¹ ( f ( x )), är ett fält och en ändlig separerbar förlängning av κ( f ( x )), då är f oframifierad vid x .

Finita morfismer är kvasiändliga. En kvasifinit egen morfism lokalt av finit presentation är finit. En morfism är faktiskt ändlig om och bara om den är korrekt och lokalt kvasiändlig.

En generaliserad form av Zariskis huvudsats är följande: Antag att Y är kvasikompakt och kvasi-separerad. Låt f vara kvasiändlig, separerad och av ändlig presentation. Sedan f faktorer som $X\hookrightarrow X'\to Y$ där den första morfismen är en öppen nedsänkning och den andra är finit. ( X är öppet i ett ändligt schema över Y. )

Se även

Det kvasifinita fundamentala gruppschemat

Anteckningar

Grothendieck, Alexandre ; Michèle Raynaud (2003) [1971]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) (på franska) (Uppdaterad utg.). Société Mathématique de France. xviii+327. ISBN 2-85629-141-4 .
Grothendieck, Alexandre ; Jean Dieudonné (1961). "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude global élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. doi : 10.1007/bf02699291 .
Grothendieck, Alexandre ; Jean Dieudonné (1966). "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255.