Yamabe invariant

Inom matematiken , inom differentialgeometrins område , är Yamabe -invarianten , även kallad sigmakonstanten , en invariant i reellt tal som är associerad med ett jämnt grenrör som bevaras under diffeomorfismer . Den skrevs först ned oberoende av O. Kobayashi och R. Schoen och har fått sitt namn från H. Yamabe .

Definition

Låt $M$ vara ett kompakt jämnt grenrör (utan gräns) med dimension $n\geq 2$ . Den normaliserade Einstein–Hilbert-funktionella ${\mathcal {E}}$ tilldelar varje Riemann-mått $g$ på $M$ ett reellt tal enligt följande:

{\mathcal {E}}(g)={\frac {\int _{M}R_{ g}\,dV_{g}}{\left(\int _{M}\,dV_{g}\right)^{\frac {n-2}{n}}}},

där $R_{g}$ är den skalära krökningen för $g$ och $dV_{g}$ är volymdensiteten som är associerad med metriken $g$ . Exponenten i nämnaren väljs så att den funktionella är skalinvariant: för varje positiv reell konstant $c$ uppfyller den ${\mathcal {E}} (cg)={\mathcal {E}}(g)$ . Vi kan tänka på ${\mathcal {E}}(g)$ som ett mätande av den genomsnittliga skalära krökningen för $g$ över $M$ . Det antogs av Yamabe att varje konform klass av mått innehåller ett mått med konstant skalär krökning (det så kallade Yamabe-problemet ) ; det bevisades av Yamabe, Trudinger , Aubin och Schoen att ett minimivärde på ${\mathcal {E}}(g)$ uppnås i varje konform klass av mått, och i synnerhet är detta minimum uppnås genom ett mått med konstant skalär krökning.

Vi definierar

Y(g)=\inf _{f}{\mathcal {E}}(e^{2f}g),

där infimum tas över de jämna verkliga funktionerna $f$ på $M$ . Detta infimum är ändligt (inte $-\infty$ ): Hölders olikhet innebär $Y(g) \geq -\left(\textstyle \int _{M}|R_{g}|^{n/2}\,dV_{g}\right)^{2/n}$ . Talet $Y(g)$ kallas ibland den konforma Yamabe-energin för ${\displaystyle g} ($ och är konstant på konforma klasser).

Ett jämförelseargument på grund av Aubin visar att för varje mått $g$ , $Y(g)$ begränsas ovanför av ${\mathcal {E}}(g_ {0})$ , där $g_{0}$ är standardmåttet på $n$ -sfären $S^{n}$ . Det följer att om vi definierar

\sigma (M)=\sup _{g}Y(g),

där supremum tas över alla mätvärden på $M$ , då $\sigma (M)\leq {\mathcal {E}}(g_{0})$ (och är särskilt ändlig). Det reella talet $\sigma (M)$ kallas Yamabe-invarianten av $M$ .

Yamabe-invarianten i två dimensioner

I fallet att $n=2$ , (så att M är en sluten yta ) ges Einstein–Hilbert-funktionalen av

{\mathcal {E}}(g)=\int _{M}R_{g}\,dV_{ g}=\int _{M}2K_{g}\,dV_{g},

där $K_{g}$ är Gauss-kurvaturen för g . Men genom Gauss-Bonnet-satsen ges integralen av Gauss-kurvaturen av $2\pi \chi (M)$ , där $\chi (M)$ är Eulerkarakteristiken för M . I synnerhet beror detta nummer inte på valet av måttenhet. Därför, för ytor, drar vi slutsatsen att

\sigma (M)=4\pi \chi (M).

Till exempel har 2-sfären Yamabe-invariant lika med $8\pi$ , och 2-torus har Yamabe-invariant lika med noll.

Exempel

I slutet av 1990-talet beräknades Yamabe-invarianten för stora klasser av 4-grenrör av Claude LeBrun och hans medarbetare. I synnerhet visades det att de flesta kompakta komplexa ytor har negativ, exakt beräkningsbar Yamabe-invariant, och att varje Kähler–Einstein-mått med negativ skalär krökning realiserar Yamabe-invarianten i dimension 4. Det visades också att Yamabe-invarianten av $CP^{2}$ realiseras av Fubini–Study-måttet , och är alltså mindre än det för 4-sfären. De flesta av dessa argument involverar Seiberg-Witten-teorin , och är därför specifika för dimension 4.

Ett viktigt resultat på grund av Petean säger att om $M$ helt enkelt är ansluten och har dimension $n\geq 5$ , då $\sigma (M)\geq 0$ . I ljuset av Perelmans lösning av Poincaré-förmodan , följer det att ett enkelt anslutet $n$ -grenrör kan ha negativ Yamabe-invariant endast om $n=4$ . Å andra sidan, som redan har indikerats, har helt enkelt anslutna $4$ -förgreningar faktiskt ofta negativa Yamabe-invarianter.

Nedan är en tabell över några släta grenrör av dimension tre med känd Yamabe-invariant. I dimension 3 är talet ${\mathcal {E}}(g_{0})$ lika med $6(2\pi ^{2 })^{2/3}$ och betecknas ofta $\sigma _{1}$ .

$M$	$\sigma (M)$	anteckningar
$S^{3}$	$\sigma _{1}$	3 -sfären
$S^{2}\times S^{1}$	$\sigma _{1}$	det triviala 2-sfäriska paketet över $S^{1}$
$S^{2}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}$	$\sigma _{1}$	det unika icke-orienterbara paketet med två sfärer över $S^{1}$
$\mathbb {R} \mathbb {P} ^{3}$	$\sigma _{1}/2^{2/3}$	beräknad av Bray och Neves
$\mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}\times S^{1}$	$\sigma _{1}/2^{2/3}$	beräknad av Bray och Neves
$T^{3}$	$0$	3 -torusen

Genom ett argument som beror på Anderson, antyder Perelmans resultat på Ricci-flödet att konstantkurvaturmetriken på varje hyperbolisk 3-grenrör realiserar Yamabe-invarianten. Detta ger oss oändligt många exempel på 3-grenrör där invarianten är både negativ och exakt beräkningsbar.

Topologisk betydelse

Tecknet för Yamabe-invarianten av $M$ innehåller viktig topologisk information. Till exempel $\sigma (M)$ positiv om och endast om $M$ medger ett mått med positiv skalär krökning. Betydelsen av detta faktum är att mycket är känt om topologin för grenrör med mått för positiv skalär krökning.

Se även

Anteckningar

MT Anderson , "Canonical metrics on 3-manifolds and 4-manifolds", Asian J. Math. 10 127–163 (2006).
K. Akutagawa, M. Ishida och C. LeBrun, "Perelmans invariant, Ricci-flöde och Yamabe-invarianter av släta grenrör", Arch. Matematik. 88 , 71–76 (2007).
H. Bray och A. Neves, "Klassificering av prime 3-grenrör med Yamabe invariant större än $\mathbb {RP} ^{3}$ ", Ann. av matte. 159 , 407–424 (2004).
$Spin^{c}$ och strukturer", Geom. Funktion. Anal. 8 965–977 (1998).
O. Kobayashi, "Scalar curvature of a metric with unit volym", Math. Ann. 279 , 253-265, 1987.
C. LeBrun, "Fyra grenrör utan Einstein-mått", Math. Res. Lett. 3 133-147 (1996).
C. LeBrun, "Kodaira-dimensionen och Yamabe-problemet", Comm. Anal. Geom. 7 133-156 (1999).
J. Petean, "The Yamabe invariant av enkelt sammankopplade grenrör", J. Reine Angew. Matematik. 523 225–231 (2000).
R. Schoen, "Variationsteori för den totala skalära krökningen som är funktionell för riemannska metriker och relaterade ämnen", Ämnen i variationskalkyl , Lect . Anteckningar Math. 1365 , Springer, Berlin, 120–154, 1989.