Yamabe problem

Yamabe -problemet hänvisar till en gissning inom det matematiska området differentialgeometri , som löstes på 1980-talet. Det är ett uttalande om den skalära krökningen hos Riemannska grenrör :

Låt $(M, g)$ vara en sluten slät Riemann-grenrör. Sedan finns det en positiv och jämn funktion $f$ på $M$ så att den riemannska metriska $fg$ har konstant skalär krökning.

Genom att beräkna en formel för hur den skalära krökningen av $fg$ relaterar till den för $g$ , kan detta påstående omformuleras i följande form:

Låt $(M, g)$ vara en sluten slät Riemann-grenrör. Då finns det en positiv och jämn funktion $φ$ på $M$ , och ett tal $c$ , så att

${\frac {4(n-1)}{n- 2}}\Delta ^{g}\varphi +R^{g}\varphi +c\varphi ^{(n+2)/(n-2)}=0.$

Här betecknar $n$ dimensionen för $M$ , $R g$ betecknar skalärkrökningen av $g$ , och $∆ g$ betecknar Laplace-Beltrami-operatorn för $g$ .

Matematikern Hidehiko Yamabe gav i tidningen Yamabe (1960) ovanstående påståenden som satser och gav ett bevis; dock Trudinger (1968) ett fel i sitt bevis. Problemet med att förstå huruvida ovanstående påståenden är sanna eller falska blev känt som Yamabe-problemet. Det kombinerade arbetet av Yamabe, Trudinger, Thierry Aubin och Richard Schoen gav en positiv lösning på problemet 1984.

Det betraktas nu som ett klassiskt problem inom geometrisk analys , med bevisen som kräver nya metoder inom differentialgeometri och partiella differentialekvationer . En avgörande punkt i Schoens slutgiltiga lösning av problemet var en tillämpning av den positiva energisatsen för allmän relativitet , som är en rent differentialgeometrisk matematisk teorem som först bevisades (i en provisorisk miljö) 1979 av Schoen och Shing-Tung Yau .

Det har gjorts nyare arbete på grund av Simon Brendle , Marcus Khuri, Fernando Codá Marques och Schoen, som handlade om insamlingen av alla positiva och smidiga funktioner $f$ så att, för en given Riemannmanifold $(M, g)$ , den metriska $fg$ har konstant skalär krökning. Dessutom är Yamabe-problemet i liknande inställningar, såsom för kompletta icke-kompakta Riemannska grenrör, ännu inte helt förstått.

Yamabe-problemet i speciella fall

Här hänvisar vi till en "lösning av Yamabe-problemet" på ett riemannskt grenrör $(M,{\overline {g}})$ som ett riemannskt mått $g$ på $M$ för vilket det finns en positiv jämn funktion $\varphi :M\to \mathbb {R} ,$ med $g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}.$

På ett slutet Einstein-grenrör

Låt $(M,{\overline {g}})$ vara en jämn Riemann-gren. Betrakta en positiv jämn funktion $\varphi :M\to \mathbb {R} ,$ så att $g=\varphi ^{-2}{\ overline {g}}$ är ett godtyckligt element i den jämna konforma klassen av ${\overline {g}}.$ En standardberäkning visas

{\overline {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}}_{ij}=R_{ij}-{ \frac {1}{n}}Rg_{ij}+{\frac {n-2}{\varphi }}{\Big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{n}}g_{ij}\Delta \varphi {\Big )}.

Att ta den $g$ -inre produkten med ${\displaystyle \textstyle \varphi (\operatörsnamn {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg)} resulterar$ i

\varphi \left\langle {\overline {\operatörsnamn {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}},\operatörsnamn {Ric } -{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}=\varphi {\Big |}\operatörsnamn {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big | }_{g}^{2}+(n-2){\Big (}{\big \langle }\operatörsnamn {Ric} ,\operatörsnamn {Hess} \varphi {\big \rangle }_{g}- {\frac {1}{n}}R\Delta \varphi {\Big )}.

Om ${\overline {g}}$ antas vara Einstein, så försvinner den vänstra sidan. Om $M$ antas vara stängd, så kan man göra en integrering av delar, och återkalla Bianchi-identiteten $\textstyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}\nabla R,$ för att se

\int _{M}\varphi {\Big |}\operatörsnamn {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}^{2}\,d\mu _{g }=(n-2){\Big (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}{\Big )}\int _{M}\langle \nabla R, \nabla \varphi \rangle \,d\mu _{g}.

Om $g$ har konstant skalär krökning, försvinner den högra sidan. Den efterföljande försvinnandet av den vänstra sidan bevisar följande faktum, på grund av Obata (1971):

Varje lösning på Yamabe-problemet på ett slutet Einstein-grenrör är Einstein.

Obata fortsatte sedan med att bevisa att, förutom i fallet med standardsfären med dess vanliga konstant-sektionskrökningsmetrik, är de enda konstant-skalär-kurvaturmåtten i den konforma klassen av en Einstein-metrik (på ett slutet grenrör) konstanta multiplar av det givna måttet. Beviset fortsätter genom att visa att gradienten för den konforma faktorn faktiskt är ett konformt dödande fält. Om konformfaktorn inte är konstant, efter flödeslinjer för detta gradientfält, med start vid ett minimum av konformfaktorn, kan man sedan visa att grenröret är konformt relaterat till cylindern S n − 1 $^ {n-1}\times \mathbb {R} }$ , och har därför försvinnande Weyl-kurvatur.

Det icke-kompakta fodralet

En närbesläktad fråga är det så kallade "icke-kompakta Yamabe-problemet", som frågar: Är det sant att på varje slät komplett Riemann-grenrör $(M, g)$ som inte är kompakt, finns det ett mått som överensstämmer med g , har konstant skalär krökning och är dessutom komplett? Svaret är nej, på grund av motexempel från Jin (1988) . Olika ytterligare kriterier under vilka en lösning på Yamabe-problemet för ett icke-kompakt grenrör kan visas att existera är kända (till exempel Aviles & McOwen (1988)) ; Men att få en fullständig förståelse för när problemet kan lösas i det icke-kompakta fallet förblir dock ett ämne för forskning.

Se även

Forskningsartiklar

Aubin, Thierry (1976), "Equations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire", J. Math. Pures Appl. 55 : 269-296
Aviles, P.; McOwen, RC (1988), "Konform deformation till konstant negativ skalär krökning på icke-kompakta Riemannska grenrör", J. Differ. Geom. , 27 (2): 225–239, doi : 10.4310/jdg/1214441781 , MR 0925121
Jin, Zhi Ren (1988), "A counterexample to the Yamabe problem for complete noncompact manifolds", Partiella differentialekvationer (Tianjin, 1986) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1306, Berlin: Springer, s. 93–101, doi : 10.1007/BFb0082927 , MR 1032773
Lee, John M.; Parker, Thomas H. (1987), "The Yamabe problem" , Bulletin of the American Mathematical Society , 17 : 37–81, doi : 10.1090/s0273-0979-1987-15514-5 .
Obata, Morio (1971), "The conjectures on conformal transformations of Riemannian manifolds", Journal of Differential Geometry , 6 : 247–258, doi : 10.4310/jdg/1214430407 , MR 0303464
Schoen, Richard (1984), "Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature", J. Differ. Geom. , 20 (2): 479–495, doi : 10.4310/jdg/1214439291
Trudinger, Neil S. (1968), "Anmärkningar angående den konforma deformationen av Riemannska strukturer på kompakta grenrör", Ann . Scuola Norm. Supera. Pisa (3) , 22 : 265–274, MR 0240748
Yamabe, Hidehiko (1960), "On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds" , Osaka Journal of Mathematics , 12 : 21–37, ISSN 0030-6126 , MR 0125546

Läroböcker

Aubin, Thierry. Några olinjära problem i Riemannsk geometri. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1998. xviii+395 s. ISBN 3-540-60752-8
Schoen, R.; Yau, S.-T. Föreläsningar om differentialgeometri. Föreläsningsanteckningar förberedda av Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong och Yi Chao Xu. Översatt från kinesiska av Ding och SY Cheng. Med ett förord översatt från kinesiska av Kaising Tso. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v+235 s. ISBN 1-57146-012-8
Struwe, Michael. Varierande metoder. Tillämpningar på olinjära partiella differentialekvationer och Hamiltonska system. Fjärde upplagan. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. En serie moderna undersökningar i matematik [Resultat i matematik och relaterade områden. 3:e serien. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 34. Springer-Verlag, Berlin, 2008. xx+302 s. ISBN 978-3-540-74012-4