Wirtinger-derivat

Vid komplex analys av en och flera komplexa variabler är Wirtingerderivator (ibland även kallade Wirtinger-operatorer ), uppkallade efter Wilhelm Wirtinger som introducerade dem 1927 i samband med sina studier om funktionsteorin för flera komplexa variabler, partiella differentialoperatorer för den första ordningen som beter sig på ett mycket liknande sätt som de vanliga derivatorna med avseende på en reell variabel , när den tillämpas på holomorfa funktioner , antiholomorfa funktioner eller helt enkelt differentierbara funktioner på komplexa domäner . Dessa operatorer tillåter konstruktionen av en differentialkalkyl för sådana funktioner som är helt analog med den vanliga differentialkalkylen för funktioner av reella variabler .

Historiska anteckningar

Tidiga dagar (1899–1911): Henri Poincarés verk

Wirtingerderivat användes i komplex analys åtminstone så tidigt som i uppsatsen ( Poincaré 1899 ), vilket kortfattat noterats av Cherry & Ye (2001 , s. 31) och av Remmert (1991 , s. 66–67). I själva verket Henri Poincaré i det tredje stycket i sin uppsats från 1899 först den komplexa variabeln i $\mathbb {C} ^{n}$ och dess komplexa konjugat enligt följande

${\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.$

Sedan skriver han ekvationen som definierar funktionerna $V$ han kallar biharmonique $x_{k},y_{q}$ som tidigare skrivits med partiella derivator med avseende på de reella variablerna med $k,q$ från 1 till $n$ , exakt på följande sätt

${\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0$

Detta innebär att han implicit använde definition 2 nedan: för att se detta räcker det med att jämföra ekvationerna 2 och 2' av ( Poincaré 1899, s. 112). Uppenbarligen uppmärksammades inte denna artikel av tidiga forskare i teorin om funktioner för flera komplexa variabler : i artiklarna av Levi-Civita (1905) , Levi (1910) (och Levi 1911 ) och av Amoroso (1912) alla fundamentala partiella skillnader teorins operatorer uttrycks direkt genom att använda partiella derivator avseende de reella och imaginära delarna av de involverade komplexa variablerna . I den långa undersökningen av Osgood (1966) (första gången publicerad 1913) verkar partiella derivator med avseende på varje komplex variabel av en holomorf funktion av flera komplexa variabler vara menade som formella derivator : i själva verket när Osgood uttrycker pluriharmonisk operatör och Levi-operatören, han följer den etablerade praxisen hos Amoroso , Levi och Levi-Civita .

Dimitrie Pompeius arbete 1912 och 1913: en ny formulering

Enligt Henrici (1993 , s. 294) togs ett nytt steg i definitionen av begreppet av Dimitrie Pompeiu : i uppsatsen ( Pompeiu 1912 ), ges en komplex värderad differentierbar funktion (i betydelsen verklig analys ) av en komplex variabel $g(z)$ definierad i närheten av en given punkt $z_{0}\in \mathbb {C} ,$ han definierar den areolära derivatan som följande begränsa

${{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _{r\to 0}{\frac {1}{2\ pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z,$

där $\Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)$ är gränsen för en skiva med radien $r$ ingår helt i definitionsdomänen för $g(z),$ dvs hans avgränsande cirkel . Detta är uppenbarligen en alternativ definition av Wirtinger-derivata med avseende på den komplexa konjugerade variabeln : den är en mer allmän, eftersom, som noterats av Henrici (1993 , s. 294), gränsen kan finnas för funktioner som inte ens är differentierbara vid $z=z_{0}.$ Enligt Fichera (1969 , s. 28) var Ilia Vekua den första som identifierade den areolära derivatan som en svag derivata i betydelsen Sobolev . I sin efterföljande artikel Pompeiu (1913) detta nydefinierade begrepp för att introducera sin generalisering av Cauchys integralformel, den nu kallade Cauchy-Pompeiu-formeln .

Wilhelm Wirtingers verk

Den första systematiska introduktionen av Wirtinger-derivat verkar bero på Wilhelm Wirtinger i tidningen Wirtinger 1927 för att förenkla beräkningarna av kvantiteter som förekommer i funktionsteorin för flera komplexa variabler : som ett resultat av införandet av dessa differentialoperatorer , alla differentialoperatorer som vanligtvis används i teorin, som Levi-operatorn och Cauchy-Riemann-operatorn , är avsevärt förenklade och följaktligen lättare att hantera. Uppsatsen är medvetet skriven ur en formell synvinkel, dvs utan att ge en rigorös härledning av de egenskaper som härleds.

Formell definition

Trots deras allestädes närvarande användning verkar det som om det inte finns någon text som listar alla egenskaper hos Wirtinger-derivat: ganska fullständiga referenser är dock den korta kursen om multidimensionell komplexanalys av Andreotti (1976 , s. 3–5), monografin av Gunning & Rossi (1965 , s. 3–6), och monografin av Kaup & Kaup (1983 , s. 2,4) som används som allmänna referenser i detta och följande avsnitt.

Funktioner av en komplex variabel

Betrakta det komplexa planet ${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}.} Wirtinger-derivaten definieras$ som följande linjära partiella differentialoperatorer av första ordningen:

${\begin{aligned}{\frac {\ \partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right )\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}} +i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}$

Tydligen är den naturliga definitionsdomänen för dessa partiella differentialoperatorer utrymmet för $C^{1}$ funktioner på en domän $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{ 2},$ men eftersom dessa operatorer är linjära och har konstanta koefficienter kan de enkelt utökas till varje utrymme av generaliserade funktioner .

Funktioner av n > 1 komplexa variabler

Betrakta det euklidiska rummet på det komplexa fältet

$$\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{ 1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n} \höger\}.$$

Wirtinger-derivaten definieras som följande linjära partiella differentialoperatorer av första ordningen:

$${\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_ {1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}} ={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right )\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2 }}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\ {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n }}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.$$

När det gäller Wirtinger-derivator för funktioner av en komplex variabel, är den naturliga definitionsdomänen för dessa partiella differentialoperatorer återigen utrymmet för $C^{1}$ funktioner på en domän $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},$ och igen, eftersom dessa operatorer är linjära och har konstanta koefficienter , kan de enkelt utökas till varje rum av generaliserade funktioner .

Grundläggande egenskaper

I föreliggande avsnitt och i de följande antas det att $z\in \mathbb {C} ^{n}$ är en komplex vektor och att $z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots,y_{ n})$ där $x,y$ är reella vektorer , med n ≥ 1: det antas också att delmängden $\Omega$ kan ses som en domän i det verkliga euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{2n}$ eller i dess isomorfa komplexa motsvarighet $\mathbb {C} ^{n}.$ Alla bevis är lätta konsekvenser av definition 1 och definition 2 och av motsvarande egenskaper hos derivatorna (vanliga eller partiella ).

Linjäritet

Om $f,g\in C^{1}(\Omega )$ och $\alpha ,\beta$ är komplexa tal , då för $i=1,\dots ,n$ följande likheter gäller

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}} _{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta { \frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}$

Produktregel

Om $f,g\in C^{1}(\Omega ),$ så för $i=1,\dots ,n$ produktregeln gäller _

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i }}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i} }}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{ \partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}$

Denna egenskap antyder att Wirtinger-derivat är härledningar ur abstrakt algebrasynpunkt, precis som vanliga derivator är.

Kedjeregel

Denna egenskap har två olika former för funktioner av en respektive flera komplexa variabler : för fallet n > 1, för att uttrycka kedjeregeln i dess fulla generalitet, är det nödvändigt att beakta två domäner $\Omega ' \subseteq \mathbb {C} ^{m}$ och $\Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}$ och två kartor $g :\Omega '\to \Omega$ och $f:\Omega \to \Omega ''$ med naturliga krav på jämnhet .

Funktioner av en komplex variabel

Om $f,g\in C^{1}(\Omega ),$ och $g(\Omega )\subseteq \Omega ,$ då gäller kedjeregeln

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\ circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac { \partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}$

Funktioner av n > 1 komplexa variabler

Om $g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )$ och $f\in C ^{1}(\Omega ,\Omega ''),$ för $i=1,\dots ,m$ gäller följande form av kedjeregeln

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\summa _{ j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{ i}}}+\summa _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right) {\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i} }}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\ höger){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\ partiell f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar { z}}_{i}}}\end{aligned}}$

Konjugation

Om $f\in C^{1}(\Omega ),$ då för $i=1,\dots ,n$ följande likheter håll

${\begin{aligned}{\overline {\left({\ frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i} }}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\ stapel {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}$

Se även

• CR–funktion
• Dolbeault komplex
• Dolbeault-operatör
• Pluriharmonisk funktion

Anteckningar

Historiska referenser

•   Amoroso, Luigi (1912), " Sopra un problema al contorno" , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (på italienska), 33 (1): 75–85, doi : 10.1007/BF03015289 , JFM 43.0453.9 1, S2CID.9 1 , S253.9   . " On a boundary value problem " (fri översättning av titeln) är den första artikeln där en uppsättning (ganska komplicerade) nödvändiga och tillräckliga villkor för Dirichlet-problemets lösbarhet för holomorfa funktioner av flera variabler ges.
•     Cherry, W.; Ye, Z. (2001), Nevanlinnas teori om värdefördelning: den andra huvudsatsen och dess feltermer , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer Verlag , s. XII+202, ISBN 978-3-540-66416-1 , MR 1831783 , Zbl 0981.30001 .
•    Fichera, Gaetano (1969), "Derivata areolare e funzioni a variazione limitata", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (på italienska), XIV (1): 27–37, MR 0265616 , Zbl 0201.10002 . " Areolar derivata and functions of bounded variation " (fri engelsk översättning av titeln) är en viktig referensartikel i teorin om areolära derivator.
•    Levi, Eugenio Elia (1910), "Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse" , Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (på italienska), XVII (1): 61–87, doi : 10.1007/BF02419336 , JFM 41.0487.01 , S2CID 122678686 . " Studier på väsentliga singulära punkter för analytiska funktioner för två eller flera komplexa variabler " (engelsk översättning av titeln) är en viktig artikel i teorin om funktioner för flera komplexa variabler, där problemet med att bestämma vilken typ av hyperyta kan vara gränsen av en domän av holomorfi .
•    Levi, Eugenio Elia (1911), "Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 dimensioni che possono essere frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di due variabili complesse", Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (på italienska), XVIII (1): 69–79, doi : 10.1007/BF02420535 , JFM 42.0449.02 , S2CID 120133326 . " På hyperytorna av det 4-dimensionella rummet som kan vara gränsen för existensdomänen för en analytisk funktion av två komplexa variabler" ( engelsk översättning av titeln) är en annan viktig artikel i teorin om funktioner för flera komplexa variabler , att undersöka ytterligare teorin startade i ( Levi 1910) .
•   Levi-Civita, Tullio (1905), "Sulle funzioni di due o più variabili complesse" , Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 5 (på italienska), XIV (2): 492–499 , JFM 36.0482.01 . " On the functions of two or more complex variables " (fri engelsk översättning av titeln) är den första artikeln där ett tillräckligt villkor för lösbarheten av Cauchy-problemet för holomorfa funktioner av flera komplexa variabler ges.
•     Osgood, William Fogg (1966) [1913], Ämnen i teorin om funktioner för flera komplexa variabler (oförkortad och korrigerad utg.), New York: Dover , s. IV+120, JFM 45.0661.02 , MR 0201668 , Zbl 09018 . .
• Peschl, Ernst (1932), "Über die Krümmung von Niveaukurven bei der konformen Abbildung einfachzusammenhängender Gebiete auf das Innere eines Kreises. Eine Verallgemeinerung eines Satzes von E. Study." , Mathematische Annalen (på tyska), 106 : 574–594, doi :      /BF01455902 , JFM 58.1096.05 , MR 1512774 , S2CID 127138808 , Zbl 00080808 , 10.1007 Zbl .
•   Poincaré, H. (1899), "Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes", Acta Mathematica (på franska), 22 (1): 89–178, doi : 10.1007/BF02417872 , JFM 20.2370 .
•    Pompeiu, D. (1912), "Sur une classe de fonctions d'une variable complexe", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (på franska), 33 (1): 108–113, doi : 10.1007/BF03015292 , J4813.013.013 . 01 , S2CID 120717465 .
•   Pompeiu, D. (1913), "Sur une classe de fonctions d'une variable complexe et sur certaines équations intégrales", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (på franska), 35 (1): 277–281, doi : 10.1007/ BF03015607 , S2CID 121616964 .
•    Vekua, IN (1962), Generalized Analytic Functions , International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol. 25, London–Paris–Frankfurt: Pergamon Press , s. xxx+668, MR 0150320 , Zbl 0100.07603
• Wirtinger, Wilhelm   S2121 , 2007, 2007   1927), "Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Veränderlichen" , Mathematische Annalen (på tyska), 97 : 357–375, doi : 10.1007 /BF01447872 , JFM 52.0342.49 ( tillgänglig på Digitskrift 31.0242.491, S2C1911, sv . I detta viktiga dokument introducerar Wirtinger flera viktiga begrepp i teorin om funktioner för flera komplexa variabler, nämligen Wirtingers derivator och det tangentiella Cauchy-Riemann-tillståndet.

Vetenskapliga referenser

• Andreotti, Aldo (1976), Introduzione all'analisi complessa (Lezioni tenute nel febbraio 1972) , Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (på italienska), vol. 24, Rom: Accademia Nazionale dei Lincei , sid. 34, arkiverad från originalet 2012-03-07 , hämtad 2010-08-28 . Introduktion till komplex analys är en kort kurs i teorin om funktioner för flera komplexa variabler, som hölls i februari 1972 vid Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni "Beniamino Segre".
•    Fichera, Gaetano (1986), "Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of many complex variables", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8, 18 (3): 61–83 , MR 0917525 , Zbl 0705.32006 .
•     Gunning, Robert C. ; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables , Prentice-Hall series in Modern Analysis, Englewood Cliffs , NJ: Prentice-Hall , s. xiv+317, ISBN 9780821869536 , MR 01806901 , MR 01806901 .
•     Gunning, Robert C. (1990), Introduktion till holomorfiska funktioner hos flera variabler. Volym I: Funktionsteori , Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Belmont, Kalifornien : Wadsworth & Brooks/Cole, s. xx+203, ISBN 0-534-13308-8 , MR 1052649 , Zbl 0699.32001 .
•     Henrici, Peter (1993) [1986], Applied and Computational Complex Analysis Volume 3 , Wiley Classics Library (Reprint ed.), New York–Chichester–Brisbane–Toronto–Singapore: John Wiley & Sons , s. X+637, ISBN 0-471-58986-1 , MR 0822470 , Zbl 1107.30300 .
•     Hörmander, Lars (1990) [1966], An Introduction to Complex Analysis in Several Variables , North–Holland Mathematical Library, vol. 7 (3rd (Revised) ed.), Amsterdam–London–New York–Tokyo: North-Holland , ISBN 0-444-88446-7 , MR 1045639 , Zbl 0685.32001 .
•     Kaup, Ludger; Kaup, Burchard (1983), Holomorphic functions of flera variabler , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 3, Berlin–New York: Walter de Gruyter , s. XV+349, ISBN 978-3-11-004150-7 , MR 0716497 , Zbl 0528.32001 .
•     Kracht, Manfred; Kreyszig, Erwin (1988), Metoder för komplex analys i partiella differentialekvationer och tillämpningar , Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, New York–Chichester–Brisbane–Toronto–Singapore: John Wiley & Sons , s. xiv+394 , ISBN 0-471-83091-7 , MR 0941372 , Zbl 0644.35005 .
• Martinelli, Enzo (1984), Introduzione elementare alla teoria delle funzioni di variabili complesse con particolare riguardo alle rappresentazioni integrali , Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (på italienska), vol. 67, Rom: Accademia Nazionale dei Lincei , s. 236+II, arkiverad från originalet 2011-09-27 , hämtad 2010-08-24 . " Elementär introduktion till teorin om funktioner för komplexa variabler med särskilt avseende på integral representationer " (engelsk översättning av titeln) är anteckningarna från en kurs, publicerad av Accademia Nazionale dei Lincei , som hölls av Martinelli när han var " Professore Linceo " .
•      Remmert, Reinhold (1991), Theory of Complex Functions , Graduate Texts in Mathematics, vol. 122 (Fjärde korrigerade 1998 tryckta upplagan), New York–Berlin–Heidelberg–Barcelona–Hong Kong–London–Milano–Paris–Singapore–Tokyo: Springer Verlag , s. xx+453, ISBN 0-387-97195-5 , MR 1084167 , Zbl 0780.30001 ISBN 978-0-387-97195-7 . En lärobok om komplex analys inklusive många historiska anteckningar om ämnet.
•   Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (på italienska), Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, s. XIV+255, Zbl 0094.28002 . Anteckningar från en kurs som hölls av Francesco Severi vid Istituto Nazionale di Alta Matematica (som för närvarande bär hans namn), som innehåller bilagor av Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza och Mario Benedicty. En engelsk översättning av titeln lyder som:-" Föreläsningar om analytiska funktioner för flera komplexa variabler – Föreläst 1956–57 vid Istituto Nazionale di Alta Matematica i Rom" .