Whiteheads punktfria geometri

I matematik är punktfri geometri en geometri vars primitiva ontologiska föreställning är region snarare än punkt . Två axiomatiska system anges nedan, ett grundat i mereologi , det andra i mereotopologi och känt som anslutningsteori .

Punktfri geometri formulerades först i Whitehead (1919, 1920), inte som en teori om geometri eller rumtid , utan om "händelser" och om ett "förlängningsförhållande" mellan händelser. Whiteheads syften var lika mycket filosofiska som vetenskapliga och matematiska.

Formaliseringar

Whitehead satte inte upp sina teorier på ett sätt som skulle tillfredsställa dagens kanoner av formalitet. De två formella första ordningens teorier som beskrivs i detta inlägg utarbetades av andra för att förtydliga och förfina Whiteheads teorier. Diskursområdet för båda teorierna består av "regioner" . Alla okvantifierade variabler i denna post bör betraktas som tysta universellt kvantifierade ; därför bör alla axiom tas som universella stängningar . Inget axiom kräver mer än tre kvantifierade variabler; därför är en översättning av första ordningens teorier till relationsalgebra möjlig. Varje uppsättning axiom har bara fyra existentiella kvantifierare .

Inklusionsbaserad punktfri geometri (mereologi)

Den grundläggande primitiva binära relationen är inkludering , betecknad med infixet "≤", vilket motsvarar den binära Parthood- relationen som är en standardfunktion i merologiska teorier. Den intuitiva betydelsen av x ≤ y är " x är en del av y ." Om vi ​​antar att likhet, betecknad med infix "=", är en del av bakgrundslogiken, definieras den binära relationen Proper Part , betecknad med infix "<", som:

$x<y\leftrightarrow (x\leq y\land x\not =y).$

Axiomen är:

• Inkludering ordnar delvis domänen .

G1. $x\leq x.$ ( reflexiv )

G2. $(x\leq z\land z\leq y)\rightarrow x\leq y.$ ( transitiv ) WP4 .

G3. ${\displaystyle (x\leq y\land y\leq x)\rightarrow x=y.} ($ antisymmetrisk ) Givet

• vilka två regioner som helst, finns det en region som inkluderar dem båda. WP6 .

G4. $\exists z[x\leq z\land y\leq z].$

• Korrekt del ordnar domänen tätt . WP5 .

G5. $x<y\rightarrow \exists z[x<z<y].$

• Både atomområden och en universell region existerar inte. Därför domänen varken en övre eller en nedre gräns. WP2 .

G6. $\exists y\exists z[y<x\land x<z].$

• Korrekt delarprincip. Om alla de riktiga delarna av x är de riktiga delarna av y , så ingår x i y . WP3 .

G7. $\forall z[z<x\högerpil z<y]\högerpil x\leq y.$

En modell av G1–G7 är ett inkluderingsutrymme .

Definition (Gerla och Miranda 2008: Def. 4.1). Givet ett visst inklusionsutrymme S är en abstrakt klass en klass G av regioner så att S\G är helt ordnad efter inkludering. Dessutom finns det inte en region som ingår i alla regioner som ingår i G .

Intuitivt definierar en abstrakt klass en geometrisk enhet vars dimensionalitet är mindre än inklusionsrummets. Till exempel, om inneslutningsutrymmet är det euklidiska planet , då är motsvarande abstrakta klasser punkter och linjer .

Inklusionsbaserad punktfri geometri (hädanefter "punktfri geometri") är i huvudsak en axiomatisering av Simons (1987: 83) system W. W formaliserar i sin tur en teori i Whitehead ( 1919) vars axiom inte expliciteras. Punktfri geometri är W med denna defekt reparerad. Simons (1987) reparerade inte denna defekt, utan föreslog istället i en fotnot att läsaren skulle göra det som en övning. Den primitiva relationen av W är Egen del, en strikt partiell ordning . Teorin från Whitehead (1919) har en enda primitiv binär relation K definierad som xKy ↔ y < x . Därför är K motsatsen till Egen del. Simons WP1 hävdar att Proper Part är irreflexiv och så motsvarar G1 . G3 fastställer att inkludering, till skillnad från Proper Part, är antisymmetrisk .

Punktfri geometri är nära relaterad till en tät linjär ordning D , vars axiom är G1-3 , G5 , och totalaxiomet $x\leq y\lor y\leq x.$ Därför skulle inklusionsbaserad punktfri geometri vara en riktig förlängning av D (nämligen D ∪ { G4 , G6 , G7 }), om det inte var så att D - relationen "≤" är en total beställning .

Kopplingsteori (mereotopologi)

Ett annat tillvägagångssätt föreslogs i Whitehead (1929), en inspirerad av De Laguna (1922). Whitehead tog som primitiv den topologiska föreställningen om "kontakt" mellan två regioner, vilket resulterade i en primitiv "kopplingsrelation" mellan händelser. Anslutningsteori C är en första ordningens teori som destillerar de första 12 av de 31 antagandena i kapitel 2 i del 4 av Process and Reality till 6 axiom, C1-C6 . C är ett riktigt fragment av teorierna som föreslås i Clarke (1981), som noterade deras merologiska karaktär. Teorier som, liksom C , har både inklusions- och topologiska primitiver, kallas merotopologier .

C har en primitiv relation , binär "koppling", betecknad med prefixet predikatbokstaven C . Att x ingår i y kan nu definieras som x ≤ y ↔ ∀z[ Czx → Czy ]. Till skillnad från fallet med inklusionsrum, möjliggör anslutningsteorin att definiera "icke-tangentiell" inkludering, en total ordning som möjliggör konstruktionen av abstrakta klasser. Gerla och Miranda (2008) menar att endast på så sätt kan merotopologi entydigt definiera en punkt .

Axiomen C1-C6 nedan är, men för numrering, de för Def. 3.1 i Gerla och Miranda (2008):

• C är reflexiv . C.1.

C1. $\ Cxx.$

• C är symmetrisk . C.2.

C2. $Cxy\rightarrow Cyx.$

• C är extensional . C.11.

C3. $\forall z[Czx\leftrightarrow Czy]\rightarrow x=y.$

• Alla regioner har korrekta delar, så att C är en atomlös teori. P.9.

C4. $\exists y[y<x].$

• Givet två valfria regioner finns det en region kopplad till dem båda.

C5. $\exists z[Czx\land Czy].$

• Alla regioner har minst två osammanhängande delar. C.14.

C6. $\exists y\exists z[(y\leq x)\land (z\leq x)\land \neg Cyz].$

En modell av C är ett anslutningsutrymme .

Efter den verbala beskrivningen av varje axiom finns identifieraren för motsvarande axiom i Casati och Varzi (1999). Deras system SMT ( stark mereotopologi ) består av C1-C3 och beror i huvudsak på Clarke (1981). Vilken merotopologi som helst kan göras atomlös genom att åberopa C4 utan att riskera paradox eller trivialitet. Därför C den atomlösa varianten av SMT med hjälp av axiomen C5 och C6 , som föreslås av kapitel 2 i del 4 av Process and Reality . För en avancerad och detaljerad diskussion av system relaterade till C , se Roeper (1997).

Biacino och Gerla (1991) visade att varje modell av Clarkes teori är en boolesk algebra , och modeller av sådana algebror kan inte skilja samband från överlappning. Det är tveksamt om någon av fakta är trogen Whiteheads avsikt.

Se även

• Mereologi
• Mereotopologi
• Meningslös topologi

Bibliografi

• Biacino L., och Gerla G., 1991, " Connection Structures ," Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47.
• Casati, R., och Varzi, AC, 1999. Delar och platser: strukturerna för rumslig representation . MIT Press.
• Clarke, Bowman, 1981, " A calculus of individuals based on 'connection'" , Notre Dame Journal of Formal Logic 22 : 204-18.
• ------, 1985, " Individuals and Points ," Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
• De Laguna, T., 1922, "Punkt, linje och yta som uppsättningar av fasta ämnen," The Journal of Philosophy 19 : 449-61.
• Gerla, G., 1995, " Pointless Geometries " i Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations . Nord-Holland: 1015-31.
• -------- och Miranda A., 2008, " Inklusion och anslutning i Whitehead's Point-free Geometry ," i Michel Weber och Will Desmond, (red.), Handbook of Whiteheadian Process Thought , Frankfurt/Lancaster, onos verlag, Process Thought X1 & X2.
• Gruszczynski R. och Pietruszczak A., 2008, " Fullständig utveckling av Tarskis geometri för fasta ämnen," Bulletin of Symbolic Logic 14:481-540. Uppsatsen innehåller en presentation av punktfria geometrisystem som härrör från Whiteheads idéer och baserat på Lesniewskis merologi. Den diskuterar också kort förhållandet mellan punktfria och punktbaserade geometrisystem. Grundläggande egenskaper hos merologiska strukturer ges också.
• Grzegorczyk, A., 1960, "Axiomatizability of geometry without points," Synthese 12 : 228-235.
• Kneebone, G., 1963. Mathematical Logic and the Foundation of Mathematics . Dover reprint, 2001.
• Lucas, JR , 2000. Matematiks konceptuella rötter . Routledge. Kap. 10, om "prototopologi", diskuterar Whiteheads system och är starkt influerad av David Bostocks opublicerade skrifter .
• Roeper, P., 1997, "Region-Based Topology," Journal of Philosophical Logic 26 : 251-309.
• Simons, P., 1987. Delar: En studie i ontologi . Oxford Univ. Tryck.
• Whitehead, AN , 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace," Revue de Metaphysique et de Morale 23 : 423-454. Översatt som Hurley, PJ, 1979, "The relational theory of space," Philosophy Research Archives 5 : 712-741.
• --------, 1919. En utredning angående naturkunskapens principer . Cambridge Univ. Tryck. 2:a uppl., 1925.
• --------, 1920. Naturbegreppet . Cambridge Univ. Tryck. 2004 pocketbok, Prometheus Books. Att vara 1919 års Tarner-föreläsningar som hölls vid Trinity College .
• --------, 1979 (1929). Process och verklighet . Fri press.