Weitzenböcks ojämlikhet

Enligt Weitzenböcks ojämlikhet är arean av denna triangel högst

(a 2 + b 2 + c 2) ⁄ 4\sqrt3.

{\begin{aligned}&{\text{alla inre vinklar}}<120^{\circ }:\\ &{\text{grått område}}=3\Delta \leq \Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\end{aligned}}

{\begin{aligned}&{\text{en inre vinkel}}\geq 120^{\circ }:\\&{\text{grått område}}=3\Delta \leq \Delta _{c}<\Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\end{aligned }}

Inom matematiken anger Weitzenböcks ojämlikhet , uppkallad efter Roland Weitzenböck , att för en triangel med sidolängder $a$ , $b$ , $c$ och area $\Delta$ , följande ojämlikhet gäller:

a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,\Delta .

Likhet uppstår om och endast om triangeln är liksidig. Pedoes ojämlikhet är en generalisering av Weitzenböcks ojämlikhet. Hadwiger –Finsler-ojämlikheten är en förstärkt version av Weitzenböcks ojämlikhet.

Geometrisk tolkning och bevis

Att skriva om ojämlikheten ovan möjliggör en mer konkret geometrisk tolkning, vilket i sin tur ger ett omedelbart bevis.

{\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}b^{2}+{\frac {\sqrt { 3}}{4}}c^{2}\geq 3\,\Delta .

Summan på vänster sida är nu arean av liksidiga trianglar som är rest över sidorna av den ursprungliga triangeln och därför säger ekvationen att summan av arean av de liksidiga trianglarna alltid är större än eller lika med tre gånger arean av den ursprungliga triangeln.

\Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\geq 3\,\Delta .

Detta kan nu visas genom att replikera arean av triangeln tre gånger inom de liksidiga trianglarna. För att uppnå detta används Fermat-punkten för att dela upp triangeln i tre trubbiga subtrianglar med en $120^{\circ }$ vinkel och var och en av dessa subtrianglar replikeras tre gånger inom den liksidiga triangeln bredvid den. Detta fungerar bara om varje vinkel i triangeln är mindre än $120^{\circ }$ , eftersom Fermat-punkten annars inte ligger i triangelns inre utan blir en vertex istället. Men om en vinkel är större eller lika med $120^{\circ }$ är det möjligt att replikera hela triangeln tre gånger inom den största liksidiga triangeln, så summan av arean av alla liksidiga trianglar förblir större än trefaldig area av triangeln i alla fall.

Ytterligare bevis

Beviset för denna ojämlikhet ställdes som en fråga i den internationella matematiska olympiaden 1961. Trots det är resultatet inte alltför svårt att härleda med hjälp av Herons formel för arean av en triangel:

{\begin{aligned}\Delta &{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(b+ca)(c+ab )}}\\[4pt]&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+ b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.\end{aligned}}

Första metoden

Det kan visas att arean av den inre Napoleons triangel , som måste vara icke-negativ, är

{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{ 2}-4{\sqrt {3}}\Delta ),

så uttrycket inom parentes måste vara större än eller lika med 0.

Andra metoden

Denna metod förutsätter ingen kunskap om ojämlikheter förutom att alla kvadrater är icke-negativa.

{\begin{aligned}{}&(a^{2}-b^{2})^{2}+( b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\[5pt]{}\iff &2(a^ {4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2 })\geq 0\\[5pt]{}\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac { 4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\[5pt]{}\iff & {\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^ {2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2} )-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\[5pt]{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^ {2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2},\end{aligned}}

och resultatet följer omedelbart genom att ta den positiva kvadratroten från båda sidorna. Från den första olikheten kan vi också se att likhet uppstår endast när $a=b=c$ och triangeln är liksidig.

Tredje metoden

Detta bevis förutsätter kunskap om AM–GM-ojämlikheten .

{\begin{aligned}&&(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}&\geq &&0\\\Rightarrow &&2a^{2}+2b^{ 2}+2c^{2}&\geq &&2ab+2bc+2ac\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c )^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a +b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\Rightarrow &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a +b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\ geq &&4{\sqrt {3}}\Delta .\end{aligned}}

Eftersom vi har använt den aritmetisk-geometriska medelolikheten, uppstår likhet endast när $a=b=c$ och triangeln är liksidig.

Fjärde metoden

Skriv $x=\cot A,c=\cot A+\cot B>0$ så summan $S=\cot A+\cot B+\cot C=c+{\frac {1-x(cx)}{c}}$ och $cS=c^{2}-xc+x^{ 2}+1=\left(x-{\frac {c}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {c{\sqrt {3}}}{2}}-1 \right)^{2}+c{\sqrt {3}}\geq c{\sqrt {3}}$ dvs $S\geq {\sqrt {3}}$ . Men $\cot A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4\Delta }}$ , så $S={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\Delta }}$ .

Se även

Anteckningar

Referenser & vidare läsning

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities . MAA, 2009, ISBN 9780883853429 , s. 84-86
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Geometriska bevis på Weitzenböck och Hadwiger–Finsler ojämlikheterna . Mathematics Magazine, Vol. 81, nr 3 (juni, 2008), s. 216–219 ( JSTOR )
DM Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: Vissa geometriska ojämlikheter av Ionescu-Weitzebböck-typ . International Journal of Geometry, vol. 2 (2013), nr 1, april
DM Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: Ojämlikheten Ionescu - Weitzenböck . MateInfo.ro, april 2013, ( onlinekopia )
Daniel Pedoe : Om några geometriska ojämlikheter . The Mathematical Gazette, vol. 26, nr 272 (dec., 1942), s. 202-208 ( JSTOR )
Roland Weitzenböck : Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie . Mathematische Zeitschrift, volym 5, 1919, s. 137-146 ( onlinekopia på Göttinger Digitalisierungszentrum )
Dragutin Svrtan, Darko Veljan: Icke-euklidiska versioner av några klassiska triangelojämlikheter . Forum Geometricorum, Volym 12, 2012, s. 197–209 ( nätkopia )
Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: Nya ojämlikheter för triangeln . Octogon Mathematical Magazine, vol. 17, No.1, April 2009, s. 70-89 ( onlinekopia )

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Weitzenböcks ojämlikhet" . MathWorld .
" Weitzenböcks ojämlikhet ", en interaktiv demonstration av Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project .