Ojämlikhet mellan Hadwiger och Finsler

Inom matematik är Hadwiger -Finsler - ojämlikheten ett resultat av trianglarnas geometri i det euklidiska planet . Det står att om en triangel i planet har sidolängderna a , b och c och area T , då

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}+4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(HF)}}.$

Relaterade ojämlikheter

• Weitzenböcks ojämlikhet är en rak följd av Hadwiger–Finsler-olikheten: om en triangel i planet har sidolängderna a , b och c och arean T , då

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.$

Hadwiger–Finsler ojämlikhet är faktiskt likvärdig med Weitzenböcks ojämlikhet. Att applicera (W) på den cirkummidarc triangeln ger (HF)

Weitzenböcks ojämlikhet kan också bevisas med hjälp av Herons formel , genom vilken väg man kan se att jämlikhet håller i (W) om och endast om triangeln är en liksidig triangel , dvs a = b = c .

• En version för fyrhörning : Låt ABCD vara en konvex fyrhörning med längderna a , b , c , d och arean T då:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt { 3}}}\sum {(ab)^{2}}$ med likhet endast för en kvadrat .

Där $\sum {(ab)^{2}}=(ab)^{2}+(ac)^{2}+(ad)^{2}+(bc)^{2}+(bd) ^{2}+(cd)^{2}$

Historia

Hadwiger–Finsler-ojämlikheten är uppkallad efter Paul Finsler och Hugo Hadwiger ( 1937 ), som också publicerade i samma tidning Finsler–Hadwiger-satsen om en kvadrat härledd från två andra kvadrater som delar en vertex.

Se även

• Lista över triangelojämlikheter
• Isoperimetrisk ojämlikhet

•   Finsler, Paul ; Hadwiger, Hugo (1937). "Einige Relationen im Dreieck". Commentarii Mathematici Helvetici . 10 (1): 316–326. doi : 10.1007/BF01214300 . S2CID 122841127 .
•   Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities . MAA, 2009, ISBN 9780883853429 , sid. 84-86

externa länkar

• Bevis på Hadwiger-Finsler ojämlikhet på PlanetMath .
• Weizenbocks ojämlikhet på PlanetMath .